Python SciPy special.genlaguerre用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.genlaguerre 的用法。

用法:

scipy.special.genlaguerre(n, alpha, monic=False)#

广义(关联)拉盖尔多项式。

定义为解决方案

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]

其中\(\alpha > -1\)； \(L_n^{(\alpha)}\) 是 \(n\) 次数的多项式。

参数 ：：

n： int

多项式的次数。

alpha： 浮点数

参数，必须大于-1。

monic： 布尔型，可选

如果为 True，则将前导系数缩放为 1。默认为 False。

返回 ：：

L： orthopoly1d

广义拉盖尔多项式。

注意：

对于固定的 \(\alpha\) ，多项式 \(L_n^{(\alpha)}\) 与 \([0, \infty)\) 正交，权重函数为 \(e^{-x}x^\alpha\) 。

拉盖尔多项式是 \(\alpha = 0\) 的特殊情况。

参考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合编。带有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：多佛，1972 年。

例子：

广义拉盖尔多项式与合流超几何函数 \({}_1F_1\) 密切相关：

\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]

例如，可以在间隔 \([-1, 1]\) 上验证 \(n = \alpha = 3\) ：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import hyp1f1
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x))
True

这是 \(\alpha\) 的某些值的广义拉盖尔多项式 \(L_3^{(\alpha)}\) 的图：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0)
>>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()