Python SciPy special.genlaguerre用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.genlaguerre 的用法。

用法:

scipy.special.genlaguerre(n, alpha, monic=False)#

廣義(關聯)拉蓋爾多項式。

定義為解決方案

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n^{(\alpha)} + (\alpha + 1 - x)\frac{d}{dx}L_n^{(\alpha)} + nL_n^{(\alpha)} = 0,\]

其中\(\alpha > -1\)； \(L_n^{(\alpha)}\) 是 \(n\) 次數的多項式。

參數 ：：

n： int

多項式的次數。

alpha： 浮點數

參數，必須大於-1。

monic： 布爾型，可選

如果為 True，則將前導係數縮放為 1。默認為 False。

返回 ：：

L： orthopoly1d

廣義拉蓋爾多項式。

注意：

對於固定的 \(\alpha\) ，多項式 \(L_n^{(\alpha)}\) 與 \([0, \infty)\) 正交，權重函數為 \(e^{-x}x^\alpha\) 。

拉蓋爾多項式是 \(\alpha = 0\) 的特殊情況。

參考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

廣義拉蓋爾多項式與合流超幾何函數 \({}_1F_1\) 密切相關：

\[L_n^{(\alpha)} = \binom{n + \alpha}{n} {}_1F_1(-n, \alpha +1, x)\]

例如，可以在間隔 \([-1, 1]\) 上驗證 \(n = \alpha = 3\) ：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import hyp1f1
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 3)(x), binom(6, 3) * hyp1f1(-3, 4, x))
True

這是 \(\alpha\) 的某些值的廣義拉蓋爾多項式 \(L_3^{(\alpha)}\) 的圖：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-4.0, 12.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 10.0)
>>> ax.set_title(r'Generalized Laguerre polynomials $L_3^{\alpha}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, genlaguerre(3, alpha)(x), label=rf'$L_3^{(alpha)}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()