Python SciPy special.jacobi用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.jacobi 的用法。

用法:

scipy.special.jacobi(n, alpha, beta, monic=False)#

雅可比多项式。

定义为解决方案

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha, \beta)} + (\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x) \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha, \beta)} + n(n + \alpha + \beta + 1)P_n^{(\alpha, \beta)} = 0\]

对于\(\alpha, \beta > -1\)； \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 是 \(n\) 次数的多项式。

参数 ：：

n： int

多项式的次数。

alpha： 浮点数

参数，必须大于-1。

beta： 浮点数

参数，必须大于-1。

monic： 布尔型，可选

如果为 True，则将前导系数缩放为 1。默认为 False。

返回 ：：

P： orthopoly1d

雅可比多项式。

注意：

对于固定的 \(\alpha, \beta\) ，多项式 \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 与 \([-1, 1]\) 正交，权重函数为 \((1 - x)^\alpha(1 + x)^\beta\) 。

参考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合编。带有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：多佛，1972 年。

例子：

Jacobi 多项式满足递归关系：

\[P_n^{(\alpha, \beta-1)}(x) - P_n^{(\alpha-1, \beta)}(x) = P_{n-1}^{(\alpha, \beta)}(x)\]

例如，可以在间隔 \([-1, 1]\) 上验证 \(\alpha = \beta = 2\) 和 \(n = 1\) ：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(0, 2, 2)(x),
...             jacobi(1, 2, 1)(x) - jacobi(1, 1, 2)(x))
True

对于 \(\alpha\) 的不同值，雅可比多项式 \(P_5^{(\alpha, -0.5)}\) 的绘图：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Jacobi polynomials $P_5^{(\alpha, -0.5)}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 4, 1):
...     ax.plot(x, jacobi(5, alpha, -0.5)(x), label=rf'$\alpha={alpha}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()