Python SciPy special.jacobi用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.jacobi 的用法。

用法:

scipy.special.jacobi(n, alpha, beta, monic=False)#

雅可比多項式。

定義為解決方案

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha, \beta)} + (\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x) \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha, \beta)} + n(n + \alpha + \beta + 1)P_n^{(\alpha, \beta)} = 0\]

對於\(\alpha, \beta > -1\)； \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 是 \(n\) 次數的多項式。

參數 ：：

n： int

多項式的次數。

alpha： 浮點數

參數，必須大於-1。

beta： 浮點數

參數，必須大於-1。

monic： 布爾型，可選

如果為 True，則將前導係數縮放為 1。默認為 False。

返回 ：：

P： orthopoly1d

雅可比多項式。

注意：

對於固定的 \(\alpha, \beta\) ，多項式 \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 與 \([-1, 1]\) 正交，權重函數為 \((1 - x)^\alpha(1 + x)^\beta\) 。

參考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

Jacobi 多項式滿足遞歸關係：

\[P_n^{(\alpha, \beta-1)}(x) - P_n^{(\alpha-1, \beta)}(x) = P_{n-1}^{(\alpha, \beta)}(x)\]

例如，可以在間隔 \([-1, 1]\) 上驗證 \(\alpha = \beta = 2\) 和 \(n = 1\) ：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(0, 2, 2)(x),
...             jacobi(1, 2, 1)(x) - jacobi(1, 1, 2)(x))
True

對於 \(\alpha\) 的不同值，雅可比多項式 \(P_5^{(\alpha, -0.5)}\) 的繪圖：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Jacobi polynomials $P_5^{(\alpha, -0.5)}$')
>>> for alpha in np.arange(0, 4, 1):
...     ax.plot(x, jacobi(5, alpha, -0.5)(x), label=rf'$\alpha={alpha}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()