Python SciPy optimize.newton_krylov用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.optimize.newton_krylov 的用法。

用法:

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

使用逆雅可比行列式的 Krylov 近似求函数的根。

此方法适用于解决large-scale 问题。

参数 ：：

F： 函数(x)-> f

要查找其根的函数；应该接受并返回一个类似数组的对象。

xin： array_like

解决方案的初步猜测

rdiff： 浮点数，可选

用于数值微分的相对步长。

method： str 或可调用，可选

用于近似雅可比行列式的克雷洛夫方法。可以是字符串，也可以是实现与 scipy.sparse.linalg 中的迭代求解器相同接口的函数。如果是字符串，则需要是以下之一： 'lgmres' 、 'gmres' 、 'bicgstab' 、 'cgs' 、 'minres' 、 'tfqmr' 。

默认值为 scipy.sparse.linalg.lgmres 。

inner_maxiter： 整数，可选

传递给“inner” Krylov 求解器的参数：最大迭代次数。即使没有达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。

inner_M： LinearOperator 或 InverseJacobian

内部 Krylov 迭代的预处理器。请注意，您也可以使用逆雅可比矩阵作为(自适应)预条件子。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果预条件器有一个名为‘update’的方法，则在每个非线性步骤之后它将被称为update(x, f)，其中x给出当前点，f给出当前函数值。

outer_k： 整数，可选

LGMRES 非线性迭代中保持的子空间大小。有关详细信息，请参阅 scipy.sparse.linalg.lgmres 。

inner_kwargs： 夸格斯

“inner” Krylov 求解器的关键字参数(定义为方法)。参数名称必须以inner_在传递内部方法之前将被剥离的前缀。参见，例如，scipy.sparse.linalg.gmres详情。

iter： 整数，可选

要进行的迭代次数。如果省略(默认)，则根据需要制作尽可能多的数量以满足公差。

verbose： 布尔型，可选

在每次迭代时将状态打印到标准输出。

maxiter： 整数，可选

要进行的最大迭代次数。如果需要更多来满足收敛，则提出NoConvergence。

f_tol： 浮点数，可选

残差的绝对容差(在max-norm 中)。如果省略，默认为 6e-6。

f_rtol： 浮点数，可选

残差的相对容差。如果省略，则不使用。

x_tol： 浮点数，可选

绝对最小步长，由雅可比近似确定。如果步长小于此值，则优化成功终止。如果省略，则不使用。

x_rtol： 浮点数，可选

相对最小步长。如果省略，则不使用。

tol_norm： 函数(向量)-> 标量，可选

用于收敛检查的范数。默认是最大规范。

line_search： {无，‘armijo’(默认)，‘wolfe’}，可选

使用哪种类型的线搜索来确定雅可比近似给定方向上的步长。默认为‘armijo’。

callback： 函数，可选

可选的回调函数。它在每次迭代中被调用为callback(x, f)其中x是当前的解决方案，并且f对应的残差。

返回 ：：

sol： ndarray

包含最终解决方案的数组(与 x0 的数组类型相似)。

抛出 ：：

NoConvergence

当没有找到解决方案时。

注意：

此函数实现Newton-Krylov 求解器。基本思想是使用迭代 Krylov 方法计算雅可比行列式的逆。这些方法只需要评估Jacobian-vector产品，它们可以方便地通过有限差分来近似：

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由于使用了迭代矩阵求逆，这些方法可以处理较大的非线性问题。

SciPy 的scipy.sparse.linalg模块提供了一系列可供选择的 Krylov 求解器。这里的默认是关注，这是重新启动的 GMRES 迭代的变体，它重用在先前牛顿步骤中获得的一些信息，以在后续步骤中反转雅可比行列式。

有关 Newton-Krylov 方法的评论，请参见示例 [1]，对于 LGMRES 稀疏逆方法，请参见 [2]。

参考：

[1]

C. T. Kelley，用牛顿法求解非线性方程，SIAM，第 57-83 页，2003 年。DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A.诺尔和 D.E.凯斯，J. Comp。物理。 193, 357 (2004)。 DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，SIAM J. Matrix Anal。应用程序。 26, 962 (2005)。 DOI:10.1137/S0895479803422014

例子：

以下函数定义了一个非线性方程组

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

可以如下获得解决方案。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])