Python SciPy linalg.gmres用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.linalg.gmres 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.gmres(A, b, x0=None, *, tol=<object object>, restart=None, maxiter=None, M=None, callback=None, restrt=<object object>, atol=0.0, callback_type=None, rtol=1e-05)#

使用广义最小残差迭代求解 Ax = b 。

参数 ：：

A： {稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

线性系统的实数或复数N-by-N 矩阵。或者，A 可以是一个线性运算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b： ndarray

线性系统的右手边。具有形状 (N,) 或 (N,1)。

x0： ndarray

开始猜测解决方案(默认情况下为零向量)。

atol, rtol： 浮点数

收敛测试的参数。为了收敛，应满足norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默认为 atol=0. 和 rtol=1e-5 。

restart： 整数，可选

重新启动之间的迭代次数。较大的值会增加迭代成本，但对于收敛可能是必要的。如果省略，则使用min(20, n)。

maxiter： 整数，可选

最大迭代次数(重新启动周期)。即使尚未达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步骤后停止。请参阅callback_type。

M： {稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

A 的预条件子的逆。M 应该近似于 A 的逆，并且很容易求解(参见注释)。有效的预处理可以显著提高收敛速度，这意味着达到给定的容错能力所需的迭代次数更少。默认情况下，不使用预处理器。在此实现中，使用左预处理，并且最小化预处理残差。然而，最终的收敛是针对 b - A @ x 残差进行测试的。

callback： 函数

每次迭代后调用的用户提供的函数。它被称为回调(args)，其中args由callback_type选择。

callback_type： {‘x’, ‘pr_norm’, ‘legacy’}，可选

请求的回调函数参数：

• x ：当前迭代(ndarray)，每次重新启动时调用

• pr_norm：相对(预处理)残差范数(浮点)，在每次内部迭代时调用

• legacy(默认)：与pr_norm，但也改变了含义马克西特计算内部迭代而不是重新启动周期。

如果未设置回调，则该关键字无效。

restrt： int，可选，已弃用

tol： 浮点数，可选，已弃用

返回 ：：

x： ndarray

融合解决方案。

info： int

提供收敛信息：

0：成功退出 >0：未达到容差收敛，迭代次数

注意：

选择预条件子 P 使得 P 接近 A 但易于求解。此例程所需的预处理器参数是 M = P^-1 。倒数最好不要明确计算。相反，使用以下模板生成 M：

# Construct a linear operator that computes P^-1 @ x.
import scipy.sparse.linalg as spla
M_x = lambda x: spla.spsolve(P, x)
M = spla.LinearOperator((n, n), M_x)

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import gmres
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = gmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True