Python SciPy linalg.gmres用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.sparse.linalg.gmres 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.gmres(A, b, x0=None, *, tol=<object object>, restart=None, maxiter=None, M=None, callback=None, restrt=<object object>, atol=0.0, callback_type=None, rtol=1e-05)#

使用廣義最小殘差迭代求解 Ax = b 。

參數 ：：

A： {稀疏矩陣，ndarray，LinearOperator}

線性係統的實數或複數N-by-N 矩陣。或者，A 可以是一個線性運算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b： ndarray

線性係統的右手邊。具有形狀 (N,) 或 (N,1)。

x0： ndarray

開始猜測解決方案(默認情況下為零向量)。

atol, rtol： 浮點數

收斂測試的參數。為了收斂，應滿足norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol)。默認為 atol=0. 和 rtol=1e-5 。

restart： 整數，可選

重新啟動之間的迭代次數。較大的值會增加迭代成本，但對於收斂可能是必要的。如果省略，則使用min(20, n)。

maxiter： 整數，可選

最大迭代次數(重新啟動周期)。即使尚未達到指定的容差，迭代也會在 maxiter 步驟後停止。請參閱callback_type。

M： {稀疏矩陣，ndarray，LinearOperator}

A 的預條件子的逆。M 應該近似於 A 的逆，並且很容易求解(參見注釋)。有效的預處理可以顯著提高收斂速度，這意味著達到給定的容錯能力所需的迭代次數更少。默認情況下，不使用預處理器。在此實現中，使用左預處理，並且最小化預處理殘差。然而，最終的收斂是針對 b - A @ x 殘差進行測試的。

callback： 函數

每次迭代後調用的用戶提供的函數。它被稱為回調(args)，其中args由callback_type選擇。

callback_type： {‘x’, ‘pr_norm’, ‘legacy’}，可選

請求的回調函數參數：

• x ：當前迭代(ndarray)，每次重新啟動時調用

• pr_norm：相對(預處理)殘差範數(浮點)，在每次內部迭代時調用

• legacy(默認)：與pr_norm，但也改變了含義馬克西特計算內部迭代而不是重新啟動周期。

如果未設置回調，則該關鍵字無效。

restrt： int，可選，已棄用

tol： 浮點數，可選，已棄用

返回 ：：

x： ndarray

融合解決方案。

info： int

提供收斂信息：

0：成功退出 >0：未達到容差收斂，迭代次數

注意：

選擇預條件子 P 使得 P 接近 A 但易於求解。此例程所需的預處理器參數是 M = P^-1 。倒數最好不要明確計算。相反，使用以下模板生成 M：

# Construct a linear operator that computes P^-1 @ x.
import scipy.sparse.linalg as spla
M_x = lambda x: spla.spsolve(P, x)
M = spla.LinearOperator((n, n), M_x)

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import gmres
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = gmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True