Python SciPy linalg.lsqr用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.linalg.lsqr 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.lsqr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, iter_lim=None, show=False, calc_var=False, x0=None)#

找到大型稀疏线性方程组的最小二乘解。

该函数求解 Ax = b 或 min ||Ax - b||^2 或 min ||Ax - b||^2 + d^2 ||x - x0||^2 。

矩阵A可以是正方形或矩形(over-determined或未确定)，并且可以具有任何秩。

1. Unsymmetric equations --    solve  Ax = b

2. Linear least squares  --    solve  Ax = b
                               in the least-squares sense

3. Damped least squares  --    solve  (   A    )*x = (    b    )
                                      ( damp*I )     ( damp*x0 )
                               in the least-squares sense

参数 ：：

A： {稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

m-by-n 矩阵的表示。或者，A 可以是一个线性运算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax 和 A^T x。

b： 数组, 形状 (m,)

右侧向量b。

damp： 浮点数

阻尼系数。默认值为 0。

atol, btol： 浮点数，可选

停止公差。lsqr继续迭代，直到某个后向误差估计小于某个数量，具体取决于 atol 和 btol。让r = b - Ax是当前近似解的残差向量x.如果Ax = b似乎是一致的，lsqr终止时norm(r) <= atol * norm(A) * norm(x) + btol * norm(b).否则，lsqr终止时norm(A^H r) <= atol * norm(A) * norm(r).如果两个公差均为 1.0e-6(默认)，则最终norm(r)应该精确到大约 6 位数。 (决赛x通常会有更少的正确数字，具体取决于cond(A)和 LAMBDA 的大小。)如果环礁或者btol为无，将使用默认值 1.0e-6。理想情况下，它们应该是对条目中相对误差的估计A和b分别。例如，如果条目A有 7 个正确的数字，设置atol = 1e-7.这可以防止算法在输入数据的不确定性之外做不必要的工作。

conlim： 浮点数，可选

另一个停止公差。 lsqr 终止，如果估计cond(A)超过康林.对于兼容系统Ax = b,康林可能大到 1.0e+12(比如说)。对于最小二乘问题，conlim 应小于 1.0e+8。通过设置可以获得最大精度atol = btol = conlim = zero，但迭代次数可能过多。默认为 1e8。

iter_lim： 整数，可选

明确限制迭代次数(为了安全)。

show： 布尔型，可选

显示迭代日志。默认为假。

calc_var： 布尔型，可选

是否估计 (A'A + damp^2*I)^{-1} 的对角线。

x0： 数组，形状(n，)，可选

如果没有使用零，则对 x 的初始猜测。默认为无。

返回 ：：

x： 浮点数

最终的解决方案。

istop： int

给出终止的原因。 1 表示 x 是 Ax = b 的近似解。 2 表示 x 近似解决了最小二乘问题。

itn： int

终止时的迭代次数。

r1norm： 浮点数

norm(r) ，其中 r = b - Ax 。

r2norm： 浮点数

sqrt( norm(r)^2  +  damp^2 * norm(x - x0)^2 ).等于r1范数如果damp == 0.

anorm： 浮点数

Abar = [[A]; [damp*I]] 的 Frobenius 范数估计。

acond： 浮点数

cond(Abar) 的估计值。

arnorm： 浮点数

norm(A'@r - damp^2*(x - x0)) 的估计值。

xnorm： 浮点数

norm(x)

var： 浮点数

如果 calc_var 为 True，则估计 (A'A)^{-1} (如果 damp == 0 )或更一般的 (A'A + damp^2*I)^{-1} 的所有对角线。如果 A 具有完整的列排名或 damp > 0 ，则这是明确定义的。 (如果 rank(A) < n 和 damp = 0. 不确定 var 是什么意思)

注意：

LSQR 使用迭代方法来近似解。达到一定精度所需的迭代次数很大程度上取决于问题的规模。因此，应尽可能避免 A 的行或列的不良缩放。

例如，在问题 1 中，row-scaling 不会改变解决方案。如果 A 的一行与 A 的其他行相比非常小或大，则 (A b ) 的相应行应按比例放大或缩小。

在问题 1 和 2 中，解 x 在 column-scaling 之后很容易恢复。除非知道更好的信息，否则 A 的非零列应该被缩放，以便它们都具有相同的欧几里得范数(例如，1.0)。

在问题 3 中，如果湿气不为零，则没有重新缩放的自由。但是，只有在注意 A 的缩放之后才应该分配阻尼值。

参数阻尼旨在通过防止真正的解决方案非常大来帮助规范ill-conditioned 系统。参数 acond 提供了另一个对正则化的帮助，它可用于在计算的解变得非常大之前终止迭代。

如果某些初始估计 x0 已知并且如果 damp == 0 ，则可以进行如下操作：

1. Compute a residual vector r0 = b - A@x0.

2. Use LSQR to solve the system A@dx = r0.

3. Add the correction dx to obtain a final solution x = x0 + dx.

这就要求x0在调用 LSQR 之前和之后可用。为了判断收益，假设 LSQR 需要 k1 次迭代来解决 A@x = b 和 k2 次迭代来解决A@dx= r0。如果 x0 是 “good”，则 norm(r0) 将小于 norm(b)。如果每个系统使用相同的停止公差 atol 和 btol，k1 和 k2 将相似，但最终解 x0 + dx 应该更准确。减少总功的唯一方法是对第二个系统使用更大的停止容差。如果某个值 btol 适用于 A@x = b，则较大的值 btol*norm(b)/norm(r0) 应该适用于A@dx= r0.

预处理是另一种减少迭代次数的方法。如果可以有效地求解相关系统M@x = b，其中 M 以某种有用的方式逼近 A(例如，M - A 的秩较低或其元素相对于 A 的元素较小)，则 LSQR 可能会更快地在系统上收敛A@M(inverse)@z = b ，之后可以通过求解 M@x = z 来恢复 x。

如果 A 是对称的，则不应使用 LSQR！

替代方法是对称共轭梯度法 (cg) 和/或 SYMMLQ。 SYMMLQ 是对称 cg 的一种实现，适用于任何对称 A，并且比 LSQR 收敛得更快。如果 A 是正定的，则对称 cg 的其他实现每次迭代所需的工作量比 SYMMLQ 略少(但需要相同数量的迭代)。

参考：

[1]

C. C. Paige 和 M. A. Saunders (1982a)。 “LSQR：稀疏线性方程和稀疏最小二乘的算法”，ACM TOMS 8(1)，43-71。

[2]

C. C. Paige 和 M. A. Saunders (1982b)。 “算法 583。LSQR：稀疏线性方程和最小二乘问题”，ACM TOMS 8(2)，195-209。

[3]

M. A. 桑德斯 (1995)。 “使用 LSQR 和 CRAIG 解决稀疏矩形系统”，BIT 35, 588-604。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import lsqr
>>> A = csc_matrix([[1., 0.], [1., 1.], [0., 1.]], dtype=float)

第一个示例有简单的解决方案[0, 0]

>>> b = np.array([0., 0., 0.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsqr(A, b)[:4]
>>> istop
0
>>> x
array([ 0.,  0.])

停止代码停止=0返回表示找到了一个由零组成的向量作为解。返回的解决方案x确实包含[0., 0.]。下一个示例有一个重要的解决方案：

>>> b = np.array([1., 0., -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, r1norm = lsqr(A, b)[:4]
>>> istop
1
>>> x
array([ 1., -1.])
>>> itn
1
>>> r1norm
4.440892098500627e-16

如所示停止=1,lsqr找到了符合公差限制的解决方案。给定的解决方案[1., -1.]显然解方程。其余返回值包括有关迭代次数的信息 (它=1) 以及求解方程左右两边的剩余差。最后一个示例演示了方程无解时的行为：

>>> b = np.array([1., 0.01, -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, r1norm = lsqr(A, b)[:4]
>>> istop
2
>>> x
array([ 1.00333333, -0.99666667])
>>> A.dot(x)-b
array([ 0.00333333, -0.00333333,  0.00333333])
>>> r1norm
0.005773502691896255

istop 表明系统是不一致的，因此 x 是相应最小二乘问题的近似解。 r1norm 包含找到的最小残差的范数。