Python SciPy linalg.lgmres用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.linalg.lgmres 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, tol=1e-05, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False, atol=None)#

使用 LGMRES 算法求解矩阵方程。

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重新启动的 GMRES 收敛中的一些问题，并且通常在较少的迭代中收敛。

参数 ：：

A： {稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}

线性系统的实数或复数N-by-N 矩阵。或者，A 可以是一个线性运算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b： ndarray

线性系统的右手边。具有形状 (N,) 或 (N,1)。

x0： ndarray

开始猜测解决方案。

tol, atol： 浮点数，可选

收敛公差，norm(residual) <= max(tol*norm(b), atol).默认为atol是tol.

警告

atol 的默认值将在未来版本中更改。为了将来的兼容性，请明确指定 atol。

maxiter： 整数，可选

最大迭代次数。即使没有达到指定的容差，迭代也会在 maxiter 步后停止。

M： {稀疏矩阵，ndarray，LinearOperator}，可选

A 的预处理器。预处理器应该近似于 A 的逆。有效的预处理显著提高了收敛速度，这意味着需要更少的迭代来达到给定的误差容限。

callback： 函数，可选

每次迭代后调用的用户提供的函数。它被称为 callback(xk)，其中 xk 是当前解向量。

inner_m： 整数，可选

每次外部迭代的内部 GMRES 迭代次数。

outer_k： 整数，可选

在内部 GMRES 迭代之间携带的向量数。根据 [1]，好的值在 1…3 的范围内。但是，请注意，如果您想使用额外的向量来加速解决多个类似问题，较大的值可能是有益的。

outer_v： 元组列表，可选

包含元组的列表(v, Av)向量和相应的matrix-vector 乘积，用于增强 Krylov 子空间，并在内部 GMRES 迭代之间进行。元素Av可None如果应该重新评估matrix-vector 产品。此参数通过以下方式就地修改lgmres, 并且可用于在解决类似问题时将“guess” 向量传入和传出算法。

store_outer_Av： 布尔型，可选

LGMRES 是否应该在 outer_v 列表中除了向量 v 之外还存储 A@v。默认为真。

prepend_outer_v： 布尔型，可选

是否在 Krylov 迭代之前放置 outer_v 扩充向量。在标准 LGMRES 中，prepend_outer_v=False。

返回 ：：

x： ndarray

融合解决方案。

info： int

提供收敛信息：

• 0 : successful exit

• >0 : convergence to tolerance not achieved, number of iterations

• <0 : illegal input or breakdown

注意：

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免由于交替残差向量而导致重新启动的 GMRES 中收敛速度变慢。通常，它在某些方面通常优于可比较的内存要求的 GMRES(m)，或者至少不会差很多。

该算法的另一个优点是您可以在 outer_v 参数中为其提供 ‘guess’ 向量，以增加 Krylov 子空间。如果解决方案接近这些向量的跨度，则算法收敛速度更快。如果需要一个接一个地反转几个非常相似的矩阵，这可能很有用，例如在 Newton-Krylov 迭代中，雅可比矩阵在非线性步骤中通常变化很小。

参考：

[1] (1,2,3)

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，“加速重启 GMRES 收敛的技术”，SIAM J. Matrix Anal。应用程序。 26, 962 (2005)。

[2] (1,2)

A.H. Baker，“关于提高线性求解器的性能重新启动 GMRES”，PhD 论文，科罗拉多大学(2003 年)。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import lgmres
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True