Python SciPy linalg.lgmres用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.sparse.linalg.lgmres 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.lgmres(A, b, x0=None, *, tol=1e-05, maxiter=1000, M=None, callback=None, inner_m=30, outer_k=3, outer_v=None, store_outer_Av=True, prepend_outer_v=False, atol=None)#

使用 LGMRES 算法求解矩陣方程。

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免重新啟動的 GMRES 收斂中的一些問題，並且通常在較少的迭代中收斂。

參數 ：：

A： {稀疏矩陣，ndarray，LinearOperator}

線性係統的實數或複數N-by-N 矩陣。或者，A 可以是一個線性運算符，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b： ndarray

線性係統的右手邊。具有形狀 (N,) 或 (N,1)。

x0： ndarray

開始猜測解決方案。

tol, atol： 浮點數，可選

收斂公差，norm(residual) <= max(tol*norm(b), atol).默認為atol是tol.

警告

atol 的默認值將在未來版本中更改。為了將來的兼容性，請明確指定 atol。

maxiter： 整數，可選

最大迭代次數。即使沒有達到指定的容差，迭代也會在 maxiter 步後停止。

M： {稀疏矩陣，ndarray，LinearOperator}，可選

A 的預處理器。預處理器應該近似於 A 的逆。有效的預處理顯著提高了收斂速度，這意味著需要更少的迭代來達到給定的誤差容限。

callback： 函數，可選

每次迭代後調用的用戶提供的函數。它被稱為 callback(xk)，其中 xk 是當前解向量。

inner_m： 整數，可選

每次外部迭代的內部 GMRES 迭代次數。

outer_k： 整數，可選

在內部 GMRES 迭代之間攜帶的向量數。根據 [1]，好的值在 1…3 的範圍內。但是，請注意，如果您想使用額外的向量來加速解決多個類似問題，較大的值可能是有益的。

outer_v： 元組列表，可選

包含元組的列表(v, Av)向量和相應的matrix-vector 乘積，用於增強 Krylov 子空間，並在內部 GMRES 迭代之間進行。元素Av可None如果應該重新評估matrix-vector 產品。此參數通過以下方式就地修改lgmres, 並且可用於在解決類似問題時將“guess” 向量傳入和傳出算法。

store_outer_Av： 布爾型，可選

LGMRES 是否應該在 outer_v 列表中除了向量 v 之外還存儲 A@v。默認為真。

prepend_outer_v： 布爾型，可選

是否在 Krylov 迭代之前放置 outer_v 擴充向量。在標準 LGMRES 中，prepend_outer_v=False。

返回 ：：

x： ndarray

融合解決方案。

info： int

提供收斂信息：

• 0 : successful exit

• >0 : convergence to tolerance not achieved, number of iterations

• <0 : illegal input or breakdown

注意：

LGMRES 算法 [1] [2] 旨在避免由於交替殘差向量而導致重新啟動的 GMRES 中收斂速度變慢。通常，它在某些方麵通常優於可比較的內存要求的 GMRES(m)，或者至少不會差很多。

該算法的另一個優點是您可以在 outer_v 參數中為其提供 ‘guess’ 向量，以增加 Krylov 子空間。如果解決方案接近這些向量的跨度，則算法收斂速度更快。如果需要一個接一個地反轉幾個非常相似的矩陣，這可能很有用，例如在 Newton-Krylov 迭代中，雅可比矩陣在非線性步驟中通常變化很小。

參考：

[1] (1,2,3)

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，“加速重啟 GMRES 收斂的技術”，SIAM J. Matrix Anal。應用程序。 26, 962 (2005)。

[2] (1,2)

A.H. Baker，“關於提高線性求解器的性能重新啟動 GMRES”，PhD 論文，科羅拉多大學(2003 年)。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import lgmres
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = lgmres(A, b, atol=1e-5)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True