Python SciPy optimize.newton用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.optimize.newton 的用法。

用法:

scipy.optimize.newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)#

使用 Newton-Raphson(或正割法或哈雷法)求实函数或复函数的根。

给定附近的标量起点 x0，求 scalar-valued 函数 func 的根。如果提供了 func 的导数 fprime，则使用 Newton-Raphson 方法，否则使用割线方法。如果还提供了 func 的二阶导数 fprime2，则使用哈雷法。

如果x0是一个包含多个项目的序列，newton返回一个数组：从每个(标量)起点开始的函数根x0.在这种情况下，函数必须矢量化以返回与其第一个参数相同形状的序列或数组。如果fprime(fprime2) ，那么它的返回也必须具有相同的形状：每个元素都是一阶(二阶)导数函数关于在其第一个参数的每个元素处评估的唯一变量。

newton 用于查找单个变量的scalar-valued 函数的根。对于涉及多个变量的问题，请参阅 root 。

参数 ：：

func： 可调用的

需要其根的函数。它必须是以下形式的单个变量的函数f(x,a,b,c...)，其中a,b,c...是可以在参数范围。

x0： 浮点数、序列或 ndarray

对根的初步估计应该接近实际根。如果不是标量，则 func 必须向量化并返回与其第一个参数形状相同的序列或数组。

fprime： 可调用的，可选的

可用且方便的函数的导数。如果它是无(默认)，则使用割线法。

args： 元组，可选

要在函数调用中使用的额外参数。

tol： 浮点数，可选

根值的允许误差。如果函数是complex-valued，一个更大的tol推荐作为实部和虚部x有助于|x - x0|.

maxiter： 整数，可选

最大迭代次数。

fprime2： 可调用的，可选的

可用且方便时函数的二阶导数。如果为无(默认)，则使用普通的Newton-Raphson 或割线法。如果不是 None，则使用 Halley 方法。

x1： 浮点数，可选

根的另一个估计值应该接近实际根。如果未提供 fprime，则使用。

rtol： 浮点数，可选

终止公差(相对)。

full_output： 布尔型，可选

如果full_output为 False(默认)，则返回根。如果为真并且x0是标量，返回值为(x, r)，其中x是根和r是一个RootResults目的。如果为真并且x0是非标量，返回值为(x, converged, zero_der)(有关详细信息，请参阅返回部分)。

disp： 布尔型，可选

如果为 True，如果算法没有收敛，则引发 RuntimeError，错误消息包含迭代次数和当前函数值。否则，收敛状态记录在一个RootResults返回对象。忽略如果x0不是标量。注意：这与显示无关，但是，`disp` 关键字不能重命名以实现向后兼容性。

返回 ：：

root： 浮点数、序列或 ndarray

函数为零的估计位置。

r： RootResults ，可选

呈现如果full_output=True和x0是标量。包含有关收敛信息的对象。特别是，r.converged如果例程收敛，则为 True。

converged： bool的ndarray，可选

呈现如果full_output=True和x0是非标量的。对于向量函数，指示哪些元素成功收敛。

zero_der： bool的ndarray，可选

呈现如果full_output=True和x0是非标量的。对于向量函数，指示哪些元素具有零导数。

注意：

Newton-Raphson方法的收敛速度是二次的，哈雷方法是三次的，割线方法是sub-quadratic。这意味着，如果函数是well-behaved，则第 n 次迭代后估计根中的实际误差大约是第 (n-1) 步后误差的平方(对于 Halley 来说是立方)。然而，这里使用的停止标准是步长，并不能保证找到根。因此，应验证结果。更安全的算法有 brentq、brenth、ridder 和 bisect，但它们都要求根首先被括在函数改变符号的区间中。当找到这样的区间时，建议将 brentq 算法一般用于一维问题。

当 newton 与数组一起使用时，它最适合解决以下类型的问题：

• 初始猜测 x0 与根的距离都相对相同。

• 部分或全部额外参数 args 也是数组，因此可以一起解决一类类似问题。

• 初始猜测的大小 x0 大于 O(100) 个元素。否则，朴素循环的性能可能与向量一样好或更好。

例子：

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy import optimize

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

fprime 未提供，使用割线法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5)
>>> root
1.0000000000000016
>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0000000000000016

仅提供fprime，使用Newton-Raphson方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2)
>>> root
1.0

fprime2和fprime都提供，使用哈雷法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2,
...                        fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0

当我们想要找到一组相关起始值和/或函数参数的根时，我们可以将它们作为输入数组提供：

>>> f = lambda x, a: x**3 - a
>>> fder = lambda x, a: 3 * x**2
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal(100)
>>> a = np.arange(-50, 50)
>>> vec_res = optimize.newton(f, x, fprime=fder, args=(a, ), maxiter=200)

以上相当于在for-loop中分别求解(x, a)中的每个值，只是更快：

>>> loop_res = [optimize.newton(f, x0, fprime=fder, args=(a0,),
...                             maxiter=200)
...             for x0, a0 in zip(x, a)]
>>> np.allclose(vec_res, loop_res)
True

绘制为 a 的所有值找到的结果：

>>> analytical_result = np.sign(a) * np.abs(a)**(1/3)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(a, analytical_result, 'o')
>>> ax.plot(a, vec_res, '.')
>>> ax.set_xlabel('$a$')
>>> ax.set_ylabel('$x$ where $f(x, a)=0$')
>>> plt.show()