Python SciPy optimize.milp用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.optimize.milp 的用法。

用法:

scipy.optimize.milp(c, *, integrality=None, bounds=None, constraints=None, options=None)#

Mixed-integer 线性规划

解决以下形式的问题：

\[\begin{split}\min_x \ & c^T x \\ \mbox{such that} \ & b_l \leq A x \leq b_u,\\ & l \leq x \leq u, \\ & x_i \in \mathbb{Z}, i \in X_i\end{split}\]

其中\(x\)是决策变量的向量； \(c\) 、 \(b_l\) 、 \(b_u\) 、 \(l\) 和 \(u\) 是向量； \(A\) 是一个矩阵，\(X_i\) 是必须是整数的决策变量的索引集。 (在这种情况下，只能假设整数值的变量称为“integral”；它具有“integrality” 约束。)

或者，那是：

最小化：

c @ x

这样：

b_l <= A @ x <= b_u
l <= x <= u
Specified elements of x must be integers

默认情况下，l = 0 和 u = np.inf 除非用 bounds 指定。

参数 ：：

c： 一维密集数组

要最小化的线性目标函数的系数。 c 在问题解决之前被转换为双精度数组。

integrality： 一维密集数组，可选

指示每个决策变量的完整性约束类型。

0：连续变量；没有完整性约束。

1：整数变量；决策变量必须是整数界限.

2：Semi-continuous变量；决策变量必须在界限或取值0.

3：Semi-integer变量；决策变量必须是整数界限或取值0.

默认情况下，所有变量都是连续的。在解决问题之前，完整性被转换为整数数组。

bounds： scipy.optimize.Bounds，可选

决策变量的界限。在解决问题之前，下限和上限将转换为双精度数组。 Bounds 对象的keep_feasible 参数被忽略。如果未指定，则所有决策变量都被约束为非负数。

constraints： scipy.optimize.LinearConstraint 的序列，可选

优化问题的线性约束。参数可能是以下之一：

1. 单个 LinearConstraint 对象

2. 可以转换为 LinearConstraint 对象的单个元组为 LinearConstraint(*constraints)

3. 完全由类型 1. 和 2 的对象组成的序列。

在问题解决之前，所有的值都被转换为双精度，约束系数的矩阵被转换为 scipy.sparse.csc_array 的实例。 LinearConstraint 对象的 keep_feasible 参数被忽略。

options： 字典，可选

求解器选项字典。可识别以下键。

显示 布尔(默认值：False)

如果要在优化期间将优化状态指示器打印到控制台，则设置为True。

node_limit 整数，可选

停止之前要求解的最大节点数(线性规划松弛)。默认没有最大节点数。

预解决 布尔(默认值：True)

预求解尝试识别琐碎的不可行性，识别琐碎的无界性，并在将问题发送给主求解器之前对其进行简化。

time_limit 浮点数，可选

分配给解决问题的最大秒数。默认是没有时间限制。

mip_rel_gap 浮点数，可选

MIP 求解器的终止标准：当原始目标值与双目标边界之间的差距(按原始目标值缩放)<= mip_rel_gap 时，求解器将终止。

返回 ：：

res： OptimizeResult

scipy.optimize.OptimizeResult 的一个实例。该对象保证具有以下属性。

状态 int

一个整数，表示算法的退出状态。

0：找到最佳解决方案。

1：达到迭代或时间限制。

2：问题不可行。

3：问题是无限的。

4：其他；详情见消息。

成功 bool

True 当找到最佳解决方案时，False 否则。

信息 str

算法退出状态的字符串说明符。

以下属性也将存在，但值可能是 None ，具体取决于解决方案状态。

x ndarray

在满足约束条件的同时最小化目标函数的决策变量的值。

乐趣 浮点数

目标函数c @ x的最优值。

mip_node_count int

MILP 求解器求解的子问题或“nodes” 的数量。

mip_dual_bound 浮点数

MILP 求解器对最优解下限的最终估计。

mip_gap 浮点数

原始目标值与双重目标界限之间的差异，按原始目标值缩放。

注意：

milp 是 HiGHS 线性优化软件 [1] 的包装。该算法是确定性的，它通常会找到中等挑战性的mixed-integer线性程序(如果存在)的全局最优值。

参考：

[1]

Huangfu, Q.、Galabova, I.、Feldmeier, M. 和 Hall, J. A. J.“HiGHS - 用于线性优化的高性能软件。” https://highs.dev/

[2]

Huangfu, Q. 和 Hall, J. A. J. “并行化对偶修正单纯形法”。数学规划计算, 10 (1), 119-142, 2018. DOI: 10.1007/s12532-017-0130-5

例子：

考虑 https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_programming#Example 处的问题，该问题表示为两个变量的最大化问题。由于milp要求将问题表示为最小化问题，因此决策变量的目标函数系数为：

>>> import numpy as np
>>> c = -np.array([0, 1])

注意负号：我们通过最小化目标函数的负数来最大化原始目标函数。

我们将约束的系数收集到数组中，例如：

>>> A = np.array([[-1, 1], [3, 2], [2, 3]])
>>> b_u = np.array([1, 12, 12])
>>> b_l = np.full_like(b_u, -np.inf)

由于这些约束没有下限，我们定义了一个变量b_l，其中充满了表示负无穷大的值。 scipy.optimize.linprog 的用户可能对此不熟悉，因为它只接受 A_ub @ x <= b_u 形式的 “less than”(或 “upper bound”)不等式约束。通过接受 b_l <= A_ub @ x <= b_u 的 b_l 和 b_u 约束，milp 可以轻松地简洁地指定 “greater than” 不等式约束、“less than” 不等式约束和等式约束。

这些数组被收集到单个 LinearConstraint 对象中，例如：

>>> from scipy.optimize import LinearConstraint
>>> constraints = LinearConstraint(A, b_l, b_u)

默认情况下强制执行决策变量的非负边界，因此我们不需要为边界提供参数。

最后，问题表明两个决策变量都必须是整数：

>>> integrality = np.ones_like(c)

我们解决这样的问题：

>>> from scipy.optimize import milp
>>> res = milp(c=c, constraints=constraints, integrality=integrality)
>>> res.x
[1.0, 2.0]

请注意，我们是否解决了松弛问题(没有完整性约束)：

>>> res = milp(c=c, constraints=constraints)  # OR:
>>> # from scipy.optimize import linprog; res = linprog(c, A, b_u)
>>> res.x
[1.8, 2.8]

我们不会通过舍入到最接近的整数来获得正确的解决方案。

本教程中给出了其他示例。