Python SciPy optimize.newton用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.optimize.newton 的用法。

用法:

scipy.optimize.newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)#

使用 Newton-Raphson(或正割法或哈雷法)求實函數或複函數的根。

給定附近的標量起點 x0，求 scalar-valued 函數 func 的根。如果提供了 func 的導數 fprime，則使用 Newton-Raphson 方法，否則使用割線方法。如果還提供了 func 的二階導數 fprime2，則使用哈雷法。

如果x0是一個包含多個項目的序列，newton返回一個數組：從每個(標量)起點開始的函數根x0.在這種情況下，函數必須矢量化以返回與其第一個參數相同形狀的序列或數組。如果fprime(fprime2) ，那麽它的返回也必須具有相同的形狀：每個元素都是一階(二階)導數函數關於在其第一個參數的每個元素處評估的唯一變量。

newton 用於查找單個變量的scalar-valued 函數的根。對於涉及多個變量的問題，請參閱 root 。

參數 ：：

func： 可調用的

需要其根的函數。它必須是以下形式的單個變量的函數f(x,a,b,c...)，其中a,b,c...是可以在參數範圍。

x0： 浮點數、序列或 ndarray

對根的初步估計應該接近實際根。如果不是標量，則 func 必須向量化並返回與其第一個參數形狀相同的序列或數組。

fprime： 可調用的，可選的

可用且方便的函數的導數。如果它是無(默認)，則使用割線法。

args： 元組，可選

要在函數調用中使用的額外參數。

tol： 浮點數，可選

根值的允許誤差。如果函數是complex-valued，一個更大的tol推薦作為實部和虛部x有助於|x - x0|.

maxiter： 整數，可選

最大迭代次數。

fprime2： 可調用的，可選的

可用且方便時函數的二階導數。如果為無(默認)，則使用普通的Newton-Raphson 或割線法。如果不是 None，則使用 Halley 方法。

x1： 浮點數，可選

根的另一個估計值應該接近實際根。如果未提供 fprime，則使用。

rtol： 浮點數，可選

終止公差(相對)。

full_output： 布爾型，可選

如果full_output為 False(默認)，則返回根。如果為真並且x0是標量，返回值為(x, r)，其中x是根和r是一個RootResults目的。如果為真並且x0是非標量，返回值為(x, converged, zero_der)(有關詳細信息，請參閱返回部分)。

disp： 布爾型，可選

如果為 True，如果算法沒有收斂，則引發 RuntimeError，錯誤消息包含迭代次數和當前函數值。否則，收斂狀態記錄在一個RootResults返回對象。忽略如果x0不是標量。注意：這與顯示無關，但是，`disp` 關鍵字不能重命名以實現向後兼容性。

返回 ：：

root： 浮點數、序列或 ndarray

函數為零的估計位置。

r： RootResults ，可選

呈現如果full_output=True和x0是標量。包含有關收斂信息的對象。特別是，r.converged如果例程收斂，則為 True。

converged： bool的ndarray，可選

呈現如果full_output=True和x0是非標量的。對於向量函數，指示哪些元素成功收斂。

zero_der： bool的ndarray，可選

呈現如果full_output=True和x0是非標量的。對於向量函數，指示哪些元素具有零導數。

注意：

Newton-Raphson方法的收斂速度是二次的，哈雷方法是三次的，割線方法是sub-quadratic。這意味著，如果函數是well-behaved，則第 n 次迭代後估計根中的實際誤差大約是第 (n-1) 步後誤差的平方(對於 Halley 來說是立方)。然而，這裏使用的停止標準是步長，並不能保證找到根。因此，應驗證結果。更安全的算法有 brentq、brenth、ridder 和 bisect，但它們都要求根首先被括在函數改變符號的區間中。當找到這樣的區間時，建議將 brentq 算法一般用於一維問題。

當 newton 與數組一起使用時，它最適合解決以下類型的問題：

• 初始猜測 x0 與根的距離都相對相同。

• 部分或全部額外參數 args 也是數組，因此可以一起解決一類類似問題。

• 初始猜測的大小 x0 大於 O(100) 個元素。否則，樸素循環的性能可能與向量一樣好或更好。

例子：

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy import optimize

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

fprime 未提供，使用割線法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5)
>>> root
1.0000000000000016
>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0000000000000016

僅提供fprime，使用Newton-Raphson方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2)
>>> root
1.0

fprime2和fprime都提供，使用哈雷法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2,
...                        fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0

當我們想要找到一組相關起始值和/或函數參數的根時，我們可以將它們作為輸入數組提供：

>>> f = lambda x, a: x**3 - a
>>> fder = lambda x, a: 3 * x**2
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal(100)
>>> a = np.arange(-50, 50)
>>> vec_res = optimize.newton(f, x, fprime=fder, args=(a, ), maxiter=200)

以上相當於在for-loop中分別求解(x, a)中的每個值，隻是更快：

>>> loop_res = [optimize.newton(f, x0, fprime=fder, args=(a0,),
...                             maxiter=200)
...             for x0, a0 in zip(x, a)]
>>> np.allclose(vec_res, loop_res)
True

繪製為 a 的所有值找到的結果：

>>> analytical_result = np.sign(a) * np.abs(a)**(1/3)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(a, analytical_result, 'o')
>>> ax.plot(a, vec_res, '.')
>>> ax.set_xlabel('$a$')
>>> ax.set_ylabel('$x$ where $f(x, a)=0$')
>>> plt.show()