Python SciPy optimize.root用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.optimize.root 的用法。

用法:

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method='hybr', jac=None, tol=None, callback=None, options=None)#

求向量函数的根。

参数 ：：

fun： 可调用的

求根的向量函数。

x0： ndarray

初步猜测。

args： 元组，可选

传递给目标函数及其雅可比行列式的额外参数。

method： str，可选

求解器的类型。应该是其中之一

• ‘hybr’ (see here)

• ‘lm’ (see here)

• ‘broyden1’ (see here)

• ‘broyden2’ (see here)

• ‘anderson’ (see here)

• ‘linearmixing’ (see here)

• ‘diagbroyden’ (see here)

• ‘excitingmixing’ (see here)

• ‘krylov’ (see here)

• ‘df-sane’ (see here)

jac： 布尔或可调用，可选

如果 jac 是一个布尔值并且为 True，则 fun 假定返回 Jacobian 的值以及目标函数。如果为 False，Jacobian 将以数值方式估计。 jac 也可以是一个可调用的返回有趣的雅可比行列式。在这种情况下，它必须接受与 fun 相同的参数。

tol： 浮点数，可选

容忍终止。如需详细控制，请使用solver-specific 选项。

callback： 函数，可选

可选的回调函数。它在每次迭代中被调用为callback(x, f)其中x是当前的解决方案，并且f相应的残差。适用于除 ‘hybr’ 和 ‘lm’ 之外的所有方法。

options： 字典，可选

求解器选项字典。例如：，xtol或者马克西特， 看scipy.optimize.show_options详情。

返回 ：：

sol： OptimizeResult

解决方案表示为 OptimizeResult 对象。重要属性是：x 解决方案数组，success 指示算法是否成功退出的布尔标志和说明终止原因的 message。有关其他属性的说明，请参见 OptimizeResult 。

注意：

本节介绍可通过 ‘method’ 参数选择的可用求解器。默认方法是 hybr。

方法混合动力使用 MINPACK 中实现的 Powell 混合方法的修改[1].

方法流明使用在MINPACK 中实现的Levenberg-Marquardt 算法的修改，以最小二乘的方式求解非线性方程组[1].

方法df-sane是derivative-free频谱法。[3]

方法布罗伊登1,布罗伊登2,安德森,线性混合,迪亚布罗伊登,令人兴奋的混合,克雷洛夫是不精确的牛顿方法，具有回溯或全行搜索[2].每种方法对应于特定的雅可比近似。

• 方法 broyden1 使用 Broyden 的第一个 Jacobian 近似，被称为 Broyden 的好方法。

• 方法 broyden2 使用 Broyden 的第二雅可比近似，它被称为 Broyden 坏方法。

• 方法安德森使用(扩展)安德森混合。

• 方法 Krylov 将 Krylov 近似用于逆雅可比行列式。它适用于large-scale 问题。

• 方法 diagbroyden 使用对角线 Broyden Jacobian 近似。

• 方法线性混合使用标量雅可比近似。

• 方法激发混合使用调谐对角雅可比近似。

警告

为方法diagbroyden、linearmixing和excitingmixing实现的算法可能对特定问题有用，但它们是否有效可能很大程度上取决于问题。

参考：

[1] (1,2)

更多，Jorge J.、Burton S. Garbow 和 Kenneth E. Hillstrom。 1980. MINPACK-1 用户指南。

[2]

C. T. 凯利。 1995. 线性和非线性方程的迭代方法。工业和应用数学学会。 <https://archive.siam.org/books/kelley/fr16/>

[3]

23. 拉克鲁兹，J.M.马丁内斯，M.雷丹。数学。比较。 75, 1429 (2006)。

例子：

以下函数定义非线性方程组及其雅可比。

>>> import numpy as np
>>> def fun(x):
...     return [x[0]  + 0.5 * (x[0] - x[1])**3 - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0])**3 + x[1]]

>>> def jac(x):
...     return np.array([[1 + 1.5 * (x[0] - x[1])**2,
...                       -1.5 * (x[0] - x[1])**2],
...                      [-1.5 * (x[1] - x[0])**2,
...                       1 + 1.5 * (x[1] - x[0])**2]])

可以如下获得解决方案。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.root(fun, [0, 0], jac=jac, method='hybr')
>>> sol.x
array([ 0.8411639,  0.1588361])

大问题

假设我们需要在正方形 \([0,1]\times[0,1]\) 上求解以下积分微分方程：

\[\nabla^2 P = 10 \left(\int_0^1\int_0^1\cosh(P)\,dx\,dy\right)^2\]

\(P(x,1) = 1\) 和 \(P=0\) 在广场边界的其他地方。

可以使用method='krylov'求解器找到解决方案：

>>> from scipy import optimize
>>> # parameters
>>> nx, ny = 75, 75
>>> hx, hy = 1./(nx-1), 1./(ny-1)

>>> P_left, P_right = 0, 0
>>> P_top, P_bottom = 1, 0

>>> def residual(P):
...    d2x = np.zeros_like(P)
...    d2y = np.zeros_like(P)
...
...    d2x[1:-1] = (P[2:]   - 2*P[1:-1] + P[:-2]) / hx/hx
...    d2x[0]    = (P[1]    - 2*P[0]    + P_left)/hx/hx
...    d2x[-1]   = (P_right - 2*P[-1]   + P[-2])/hx/hx
...
...    d2y[:,1:-1] = (P[:,2:] - 2*P[:,1:-1] + P[:,:-2])/hy/hy
...    d2y[:,0]    = (P[:,1]  - 2*P[:,0]    + P_bottom)/hy/hy
...    d2y[:,-1]   = (P_top   - 2*P[:,-1]   + P[:,-2])/hy/hy
...
...    return d2x + d2y - 10*np.cosh(P).mean()**2

>>> guess = np.zeros((nx, ny), float)
>>> sol = optimize.root(residual, guess, method='krylov')
>>> print('Residual: %g' % abs(residual(sol.x)).max())
Residual: 5.7972e-06  # may vary

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x, y = np.mgrid[0:1:(nx*1j), 0:1:(ny*1j)]
>>> plt.pcolormesh(x, y, sol.x, shading='gouraud')
>>> plt.colorbar()
>>> plt.show()