Python SciPy optimize.newton_krylov用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.optimize.newton_krylov 的用法。

用法:

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

使用逆雅可比行列式的 Krylov 近似求函數的根。

此方法適用於解決large-scale 問題。

參數 ：：

F： 函數(x)-> f

要查找其根的函數；應該接受並返回一個類似數組的對象。

xin： array_like

解決方案的初步猜測

rdiff： 浮點數，可選

用於數值微分的相對步長。

method： str 或可調用，可選

用於近似雅可比行列式的克雷洛夫方法。可以是字符串，也可以是實現與 scipy.sparse.linalg 中的迭代求解器相同接口的函數。如果是字符串，則需要是以下之一： 'lgmres' 、 'gmres' 、 'bicgstab' 、 'cgs' 、 'minres' 、 'tfqmr' 。

默認值為 scipy.sparse.linalg.lgmres 。

inner_maxiter： 整數，可選

傳遞給“inner” Krylov 求解器的參數：最大迭代次數。即使沒有達到指定的容差，迭代也會在 maxiter 步後停止。

inner_M： LinearOperator 或 InverseJacobian

內部 Krylov 迭代的預處理器。請注意，您也可以使用逆雅可比矩陣作為(自適應)預條件子。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果預條件器有一個名為‘update’的方法，則在每個非線性步驟之後它將被稱為update(x, f)，其中x給出當前點，f給出當前函數值。

outer_k： 整數，可選

LGMRES 非線性迭代中保持的子空間大小。有關詳細信息，請參閱 scipy.sparse.linalg.lgmres 。

inner_kwargs： 誇格斯

“inner” Krylov 求解器的關鍵字參數(定義為方法)。參數名稱必須以inner_在傳遞內部方法之前將被剝離的前綴。參見，例如，scipy.sparse.linalg.gmres詳情。

iter： 整數，可選

要進行的迭代次數。如果省略(默認)，則根據需要製作盡可能多的數量以滿足公差。

verbose： 布爾型，可選

在每次迭代時將狀態打印到標準輸出。

maxiter： 整數，可選

要進行的最大迭代次數。如果需要更多來滿足收斂，則提出NoConvergence。

f_tol： 浮點數，可選

殘差的絕對容差(在max-norm 中)。如果省略，默認為 6e-6。

f_rtol： 浮點數，可選

殘差的相對容差。如果省略，則不使用。

x_tol： 浮點數，可選

絕對最小步長，由雅可比近似確定。如果步長小於此值，則優化成功終止。如果省略，則不使用。

x_rtol： 浮點數，可選

相對最小步長。如果省略，則不使用。

tol_norm： 函數(向量)-> 標量，可選

用於收斂檢查的範數。默認是最大規範。

line_search： {無，‘armijo’(默認)，‘wolfe’}，可選

使用哪種類型的線搜索來確定雅可比近似給定方向上的步長。默認為‘armijo’。

callback： 函數，可選

可選的回調函數。它在每次迭代中被調用為callback(x, f)其中x是當前的解決方案，並且f對應的殘差。

返回 ：：

sol： ndarray

包含最終解決方案的數組(與 x0 的數組類型相似)。

拋出 ：：

NoConvergence

當沒有找到解決方案時。

注意：

此函數實現Newton-Krylov 求解器。基本思想是使用迭代 Krylov 方法計算雅可比行列式的逆。這些方法隻需要評估Jacobian-vector產品，它們可以方便地通過有限差分來近似：

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由於使用了迭代矩陣求逆，這些方法可以處理較大的非線性問題。

SciPy 的scipy.sparse.linalg模塊提供了一係列可供選擇的 Krylov 求解器。這裏的默認是關注，這是重新啟動的 GMRES 迭代的變體，它重用在先前牛頓步驟中獲得的一些信息，以在後續步驟中反轉雅可比行列式。

有關 Newton-Krylov 方法的評論，請參見示例 [1]，對於 LGMRES 稀疏逆方法，請參見 [2]。

參考：

[1]

C. T. Kelley，用牛頓法求解非線性方程，SIAM，第 57-83 頁，2003 年。DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A.諾爾和 D.E.凱斯，J. Comp。物理。 193, 357 (2004)。 DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel，SIAM J. Matrix Anal。應用程序。 26, 962 (2005)。 DOI:10.1137/S0895479803422014

例子：

以下函數定義了一個非線性方程組

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

可以如下獲得解決方案。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])