Python SciPy special.lambertw用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.lambertw 的用法。

用法:

scipy.special.lambertw(z, k=0, tol=1e-8)#

朗伯 W 函数。

朗伯 W 函数W(z)被定义为的反函数w * exp(w).换句话说，值W(z)是这样的z = W(z) * exp(W(z))对于任何复数z.

Lambert W 函数是具有无限多个分支的多值函数。每个分支给出方程的单独解z = w exp(w).这里，分支由整数索引k.

参数 ：：

z： array_like

输入参数。

k： 整数，可选

分支索引。

tol： 浮点数，可选

评估容差。

返回 ：：

w： 数组

w 将具有与 z 相同的形状。

注意：

lambertw 支持所有分支：

• lambertw(z) 给出主解(分支 0)

• lambertw(z, k)在分支上给出解决方案k

Lambert W 函数有两个部分实数分支：主分支 (k = 0) 是真的z > -1/e, 和k = -1分支是真实的-1/e < z < 0.除k = 0有对数奇点z = 0.

可能的问题

在非常接近 -1/e 处的分支点时，评估可能会变得不准确。在某些极端情况下，lambertw 当前可能无法收敛，或者可能最终出现在错误的分支上。

算法

哈雷迭代用于反转w * exp(w), 使用 first-order 渐近逼近 (O(log(w)) 或O(w)) 作为初始估计。

分支的定义、实现和选择基于[2]。

参考：

[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

[2]

Corless 等人，“关于 Lambert W 函数”，Adv.比较。数学。 5 (1996) 329-359。 https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf

例子：

Lambert W 函数是 w exp(w) 的倒数：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import lambertw
>>> w = lambertw(1)
>>> w
(0.56714329040978384+0j)
>>> w * np.exp(w)
(1.0+0j)

任何分支都会给出有效的逆：

>>> w = lambertw(1, k=3)
>>> w
(-2.8535817554090377+17.113535539412148j)
>>> w*np.exp(w)
(1.0000000000000002+1.609823385706477e-15j)

申请equation-solving

Lambert W 函数可用于求解各种方程。我们在这里举两个例子。

首先，该函数可用于求解以下形式的隐式方程

\(x = a + b e^{c x}\)

对于\(x\)。我们假设\(c\)不为零。经过一点代数之后，方程可以写成

\(z e^z = -b c e^{a c}\)

其中 \(z = c (a - x)\) 。 \(z\) 可以使用 Lambert W 函数来表示

\(z = W(-b c e^{a c})\)

给予

\(x = a - W(-b c e^{a c})/c\)

例如，

>>> a = 3
>>> b = 2
>>> c = -0.5

\(x = a + b e^{c x}\)的解决方案是：

>>> x = a - lambertw(-b*c*np.exp(a*c))/c
>>> x
(3.3707498368978794+0j)

验证它是否解方程：

>>> a + b*np.exp(c*x)
(3.37074983689788+0j)

Lambert W 函数也可用于查找无限功率塔 \(z^{z^{z^{\ldots}}}\) 的值：

>>> def tower(z, n):
...     if n == 0:
...         return z
...     return z ** tower(z, n-1)
...
>>> tower(0.5, 100)
0.641185744504986
>>> -lambertw(-np.log(0.5)) / np.log(0.5)
(0.64118574450498589+0j)