Python SciPy special.lambertw用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.lambertw 的用法。

用法:

scipy.special.lambertw(z, k=0, tol=1e-8)#

朗伯 W 函數。

朗伯 W 函數W(z)被定義為的反函數w * exp(w).換句話說，值W(z)是這樣的z = W(z) * exp(W(z))對於任何複數z.

Lambert W 函數是具有無限多個分支的多值函數。每個分支給出方程的單獨解z = w exp(w).這裏，分支由整數索引k.

參數 ：：

z： array_like

輸入參數。

k： 整數，可選

分支索引。

tol： 浮點數，可選

評估容差。

返回 ：：

w： 數組

w 將具有與 z 相同的形狀。

注意：

lambertw 支持所有分支：

• lambertw(z) 給出主解(分支 0)

• lambertw(z, k)在分支上給出解決方案k

Lambert W 函數有兩個部分實數分支：主分支 (k = 0) 是真的z > -1/e, 和k = -1分支是真實的-1/e < z < 0.除k = 0有對數奇點z = 0.

可能的問題

在非常接近 -1/e 處的分支點時，評估可能會變得不準確。在某些極端情況下，lambertw 當前可能無法收斂，或者可能最終出現在錯誤的分支上。

算法

哈雷迭代用於反轉w * exp(w), 使用 first-order 漸近逼近 (O(log(w)) 或O(w)) 作為初始估計。

分支的定義、實現和選擇基於[2]。

參考：

[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

[2]

Corless 等人，“關於 Lambert W 函數”，Adv.比較。數學。 5 (1996) 329-359。 https://cs.uwaterloo.ca/research/tr/1993/03/W.pdf

例子：

Lambert W 函數是 w exp(w) 的倒數：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import lambertw
>>> w = lambertw(1)
>>> w
(0.56714329040978384+0j)
>>> w * np.exp(w)
(1.0+0j)

任何分支都會給出有效的逆：

>>> w = lambertw(1, k=3)
>>> w
(-2.8535817554090377+17.113535539412148j)
>>> w*np.exp(w)
(1.0000000000000002+1.609823385706477e-15j)

申請equation-solving

Lambert W 函數可用於求解各種方程。我們在這裏舉兩個例子。

首先，該函數可用於求解以下形式的隱式方程

\(x = a + b e^{c x}\)

對於\(x\)。我們假設\(c\)不為零。經過一點代數之後，方程可以寫成

\(z e^z = -b c e^{a c}\)

其中 \(z = c (a - x)\) 。 \(z\) 可以使用 Lambert W 函數來表示

\(z = W(-b c e^{a c})\)

給予

\(x = a - W(-b c e^{a c})/c\)

例如，

>>> a = 3
>>> b = 2
>>> c = -0.5

\(x = a + b e^{c x}\)的解決方案是：

>>> x = a - lambertw(-b*c*np.exp(a*c))/c
>>> x
(3.3707498368978794+0j)

驗證它是否解方程：

>>> a + b*np.exp(c*x)
(3.37074983689788+0j)

Lambert W 函數也可用於查找無限功率塔 \(z^{z^{z^{\ldots}}}\) 的值：

>>> def tower(z, n):
...     if n == 0:
...         return z
...     return z ** tower(z, n-1)
...
>>> tower(0.5, 100)
0.641185744504986
>>> -lambertw(-np.log(0.5)) / np.log(0.5)
(0.64118574450498589+0j)