Python SciPy special.laguerre用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.laguerre 的用法。

用法:

scipy.special.laguerre(n, monic=False)#

拉蓋爾多項式。

定義為解決方案

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n + (1 - x)\frac{d}{dx}L_n + nL_n = 0;\]

\(L_n\) 是一次多項式 \(n\) 。

參數 ：：

n： int

多項式的次數。

monic： 布爾型，可選

如果為 True，則將前導係數縮放為 1。默認為 False。

返回 ：：

L： orthopoly1d

拉蓋爾多項式。

注意：

多項式 \(L_n\) 與 \([0, \infty)\) 正交，權重函數為 \(e^{-x}\) 。

參考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

拉蓋爾多項式 \(L_n\) 是廣義拉蓋爾多項式 \(L_n^{(\alpha)}\) 的特例 \(\alpha = 0\)。讓我們在間隔 \([-1, 1]\) 上驗證它：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import laguerre
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 0)(x), laguerre(3)(x))
True

多項式\(L_n\) 也滿足遞歸關係：

\[(n + 1)L_{n+1}(x) = (2n +1 -x)L_n(x) - nL_{n-1}(x)\]

這可以很容易地在 \([0, 1]\) 上檢查 \(n = 3\) ：

>>> x = np.arange(0.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(4 * laguerre(4)(x),
...             (7 - x) * laguerre(3)(x) - 3 * laguerre(2)(x))
True

這是前幾個拉蓋爾多項式 \(L_n\) 的圖：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-1.0, 5.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 5.0)
>>> ax.set_title(r'Laguerre polynomials $L_n$')
>>> for n in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, laguerre(n)(x), label=rf'$L_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()