Python SciPy special.hyp2f1用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.hyp2f1 的用法。

用法:

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z, out=None) = <ufunc 'hyp2f1'>#

高斯超几何函数 2F1(a, b; c; z)

参数 ：：

a, b, c： array_like

参数，应该是实值的。

z： array_like

参数，真实的或复杂的。

out： ndarray，可选

函数值的可选输出数组

返回 ：：

hyp2f1： 标量或 ndarray

高斯超几何函数的值。

注意：

此函数为\(|z| < 1\) 定义为

\[\mathrm{hyp2f1}(a, b, c, z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!},\]

并通过分析延拓 [1] 在复数 z-plane 的其余部分上进行定义。这里\((\cdot)_n\)是Pochhammer符号；参见 poch 。当 \(n\) 是整数时，结果是次数为 \(n\) 的多项式。

z 的复数值的实现在 [2] 中说明，除了在定义的区域中的 z

\[0.9 <= \left|z\right| < 1.1, \left|1 - z\right| >= 0.9, \mathrm{real}(z) >= 0\]

其中实现遵循[4]。

参考：

[1]

NIST 数学函数数字 Library https://dlmf.nist.gov/15.2

[2]

19. Zhang 和 J.M. Jin，“特殊函数的计算”，Wiley 1996

[3]

Cephes 数学函数库，http://www.netlib.org/cephes/

[4]

J.L. Lopez 和 N.M. Temme，“高斯超几何函数的新级数展开”，Adv Comput Math 39, 349-365 (2013)。 https://doi.org/10.1007/s10444-012-9283-y

例子：

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

当 c 为负整数时，它有极点。

>>> sc.hyp2f1(1, 1, -2, 1)
inf

当 a 或 b 为负整数时，它是多项式。

>>> a, b, c = -1, 1, 1.5
>>> z = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, c, z)
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])
>>> 1 + a * b * z / c
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])

它在 a 和 b 中是对称的。

>>> a = np.linspace(0, 1, 5)
>>> b = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])
>>> sc.hyp2f1(b, a, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])

它包含许多其他函数作为特殊情况。

>>> z = 0.5
>>> sc.hyp2f1(1, 1, 2, z)
1.3862943611198901
>>> -np.log(1 - z) / z
1.3862943611198906

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, z**2)
1.098612288668109
>>> np.log((1 + z) / (1 - z)) / (2 * z)
1.0986122886681098

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, -z**2)
0.9272952180016117
>>> np.arctan(z) / z
0.9272952180016122