Python SciPy special.spherical_kn用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.spherical_kn 的用法。

用法:

scipy.special.spherical_kn(n, z, derivative=False)#

第二类修正球贝塞尔函数或其导数。

定义为[1]，

\[k_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} K_{n + 1/2}(z),\]

其中\(K_n\)是第二类修正贝塞尔函数。

参数 ：：

n： 整数，数组

Bessel 函数的阶数 (n >= 0)。

z： 复数或浮点数，数组

贝塞尔函数的参数。

derivative： 布尔型，可选

如果为 True，则返回导数(而不是函数本身)的值。

返回 ：：

kn： ndarray

注意：

该函数是使用其与第二类修正圆柱贝塞尔函数的定义关系来计算的。

使用关系 [2] 计算导数，

\[ \begin{align}\begin{aligned}k_n' = -k_{n-1} - \frac{n + 1}{z} k_n.\\k_0' = -k_1\end{aligned}\end{align} \]

参考：

[1]

https://dlmf.nist.gov/10.47.E9

[2]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E5

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合编。带有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：多佛，1972 年。

例子：

第二类 \(k_n\) 的修正球面贝塞尔函数接受实数和复数第二个参数。他们可以返回一个复杂的类型：

>>> from scipy.special import spherical_kn
>>> spherical_kn(0, 3+5j)
(0.012985785614001561+0.003354691603137546j)
>>> type(spherical_kn(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我们可以在区间 \([1, 2]\) 中验证 \(n=3\) 的注释导数的关系：

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_kn(3, x, True),
...             - 4/x * spherical_kn(3, x) - spherical_kn(2, x))
True

前几个 \(k_n\) 带有真实参数：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 4.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(0.0, 5.0)
>>> ax.set_title(r'Modified spherical Bessel functions $k_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_kn(n, x), label=rf'$k_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()