Python SciPy special.spherical_jn用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.spherical_jn 的用法。

用法:

scipy.special.spherical_jn(n, z, derivative=False)#

第一类球贝塞尔函数或其导数。

定义为[1]，

\[j_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{n + 1/2}(z),\]

其中\(J_n\) 是第一类贝塞尔函数。

参数 ：：

n： 整数，数组

Bessel 函数的阶数 (n >= 0)。

z： 复数或浮点数，数组

贝塞尔函数的参数。

derivative： 布尔型，可选

如果为 True，则返回导数(而不是函数本身)的值。

返回 ：：

jn： ndarray

注意：

对于大于顺序的实参，该函数使用升序递归 [2] 计算。对于小的实数或复数参数，使用与第一类圆柱贝塞尔函数的定义关系。

使用关系 [3] 计算导数，

\[ \begin{align}\begin{aligned}j_n'(z) = j_{n-1}(z) - \frac{n + 1}{z} j_n(z).\\j_0'(z) = -j_1(z)\end{aligned}\end{align} \]

参考：

[1]

https://dlmf.nist.gov/10.47.E3

[2]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E1

[3]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E2

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合编。带有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：多佛，1972 年。

例子：

第一类 \(j_n\) 的球面贝塞尔函数接受实数和复数第二个参数。他们可以返回一个复杂的类型：

>>> from scipy.special import spherical_jn
>>> spherical_jn(0, 3+5j)
(-9.878987731663194-8.021894345786002j)
>>> type(spherical_jn(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我们可以在区间 \([1, 2]\) 中验证 \(n=3\) 的注释导数的关系：

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_jn(3, x, True),
...             spherical_jn(2, x) - 4/x * spherical_jn(3, x))
True

前几个 \(j_n\) 带有真实参数：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-0.5, 1.5)
>>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $j_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_jn(n, x), label=rf'$j_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()