Python numpy linalg.norm用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 numpy.linalg.norm 的用法。

用法:

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

矩阵或向量范数。

根据ord 参数的值，此函数能够返回八种不同的矩阵范数之一，或无限数量的向量范数之一(如下所述)。

参数：

x： array_like

输入数组。如果轴是无，x必须是一维或二维，除非ord是无。如果两者轴和ord是无，的 2 范数x.ravel将被退回。

ord： {非零整数，inf，-inf，‘fro’, ‘nuc’}，可选

规范的顺序(参见 Notes 下的表格)。 inf 表示 numpy 的 inf 对象。默认值为无。

axis： {无，整数，整数的 2 元组}，可选。

如果axis是一个整数，它指定x的轴，沿着它计算向量范数。如果axis是一个2元组，它指定保存二维矩阵的轴，并计算这些矩阵的矩阵范数。如果axis为None，则返回向量范数(当x为一维时)或矩阵范数(当x为二维时)。默认值为无。

keepdims： 布尔型，可选

如果将其设置为 True，则规范化的轴将作为尺寸为 1 的尺寸留在结果中。使用此选项，结果将针对原始 x 正确广播。

返回：

n： 浮点数或 ndarray

矩阵或向量的范数。

注意：

对于 ord < 1 的值，严格来说，结果不是数学上的 ‘norm’，但它对于各种数值目的可能仍然有用。

可以计算以下规范：

ord	矩阵的范数	向量的范数
None	弗罗贝尼乌斯范数	2范数
‘fro’	弗罗贝尼乌斯范数	-
‘nuc’	核规范	-
inf	最大值(总和(绝对值(x)，轴 = 1))	最大值(绝对值(x))
-inf	最小值(总和(绝对值(x)，轴 = 1))	最小(绝对值(x))
0	-	总和(x!= 0)
1	最大值(总和(绝对值(x)，轴 = 0))	如下
-1	最小值(总和(绝对值(x)，轴 = 0))	如下
2	2-范数(最大单值)	如下
-2	最小奇异值	如下
other	-	总和(abs(x)**ord)**(1./ord)

Frobenius 范数由 [1] 给出：

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核范数是奇异值的总和。

Frobenius 和核范数阶都只为矩阵定义，并在 x.ndim != 2 时引发 ValueError 。

参考：

1：

G. H. Golub 和 C. F. Van Loan，矩阵计算，马里兰州巴尔的摩，约翰霍普金斯大学出版社，1985 年，第 页。 15

例子：

>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用轴参数计算向量范数：

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用轴参数计算矩阵范数：

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)