Python numpy linalg.matrix_rank用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 numpy.linalg.matrix_rank 的用法。

用法:

linalg.matrix_rank(A, tol=None, hermitian=False)

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于 tol 的奇异值的数量。

参数：

A： {(M,), (…, M, N)} 数组

输入向量或矩阵堆栈。

tol： (…)数组，浮点数，可选

低于该阈值的 SVD 值被视为零。如果tol是无，并且S是一个具有奇异值的数组M， 和eps是数据类型的 epsilon 值S， 然后tol被设定为S.max() * max(M, N) * eps.

hermitian： 布尔型，可选

如果为真，则 A 被假定为 Hermitian(如果为实值则对称)，从而可以使用更有效的方法来查找奇异值。默认为 False。

返回：

rank： (…)数组

A级。

注意：

检测排名缺陷的默认阈值是对奇异值大小的测试A。默认情况下，我们识别小于的奇异值S.max() * max(M, N) * eps表示等级不足(使用上面定义的符号)。这是 MATLAB 使用的算法 [1]。它也出现在数字食谱在讨论线性最小二乘的 SVD 解决方案 [2]。

此默认阈值旨在检测考虑 SVD 计算数值错误的排名缺陷。想象一下 A 中的一列是 A 中其他列的精确(浮点)线性组合。计算 A 上的 SVD 通常不会产生完全等于 0 的奇异值：最小 SVD 值的任何差异从 0 开始是由于 SVD 计算中的数值不精确造成的。我们针对小 SVD 值的阈值考虑了这种数值不精确性，默认阈值将检测这种数值排名缺陷。即使 A 的某些列的线性组合不完全等于 A 的另一列，而只是在数值上非常接近 A 的另一列，阈值也可以声明矩阵 A 秩不足。

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用。其他阈值也是可能的。例如，2007 年版的其他地方数字食谱还有一个替代阈值S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.).作者将此阈值说明为基于“expected roundoff error”(第 71 页)。

上述阈值处理 SVD 计算中的浮点舍入误差。但是，您可能有更多关于 A 中错误来源的信息，这将使您考虑使用其他容差值来检测有效秩不足。最有用的公差度量取决于您打算在矩阵上使用的操作。例如，如果您的数据来自不确定性大于浮点 epsilon 的不确定性测量，则选择接近该不确定性的容差可能更可取。如果不确定性是绝对的而不是相对的，则容差可能是绝对的。

参考：

1：

MATLAB 参考文档，“Rank”https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

2：

W. H. Press、S. A. Teukolsky、W. T. Vetterling 和 B. P. Flannery，“数值食谱(第 3 版)”，剑桥大学出版社，2007 年，第 795 页。

例子：

>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0