Python numpy linalg.svd用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 numpy.linalg.svd 的用法。

用法:

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)

奇异值分解。

什么时候a是一个二维数组，它被分解为u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh，其中u和vh是二维酉阵列和s是一维数组a的奇异值。什么时候a是更高维的，SVD 以堆叠模式应用，如下所述。

参数：

a： (…, M, N) 数组

带有 a.ndim >= 2 的实数或复数数组。

full_matrices： 布尔型，可选

如果为真(默认)，u和vh有形状(..., M, M)和(..., N, N)， 分别。否则，形状为(..., M, K)和(..., K, N)，分别在哪里K = min(M, N).

compute_uv： 布尔型，可选

除了 s 之外，是否计算 u 和 vh。默认为真。

hermitian： 布尔型，可选

如果为 True，则假定 a 为 Hermitian(如果为实值，则为对称)，从而可以更有效地找到奇异值。默认为假。

返回：

u： { (…, M, M), (…, M, K) } 数组

单一数组。首先a.ndim - 2尺寸与输入尺寸相同a.最后两个维度的大小取决于full_matrices.仅返回时compute_uv为真。

s： (…, K) 数组

具有奇异值的向量，在每个向量中按降序排序。首先a.ndim - 2尺寸与输入尺寸相同a.

vh： { (…, N, N), (…, K, N) } 数组

单一数组。首先a.ndim - 2尺寸与输入尺寸相同a.最后两个维度的大小取决于full_matrices.仅返回时compute_uv为真。

抛出：

LinAlgError

如果 SVD 计算不收敛。

注意：

使用 LAPACK 例程 _gesdd 执行分解。

SVD 通常被说明为二维矩阵的分解\(A\).下面将讨论高维情况。在二维情况下，SVD 写为\(A = U S V^H\)，其中\(A = a\),\(U= u\),\(S= \mathtt{np.diag}(s)\)和\(V^H = vh\).一维数组s包含的奇异值a和u和vh是单一的。的行vh是的特征向量\(A^H A\)和列u是的特征向量\(A A^H\).在这两种情况下，对应的(可能非零)特征值由下式给出s**2.

如果a具有两个以上的维度，则适用广播规则，如中所述一次在多个矩阵上进行线性代数.这意味着 SVD 在 “stacked” 模式下工作：它迭代第一个索引的所有索引a.ndim - 2尺寸和每个组合 SVD 应用于最后两个索引。矩阵a可以从分解中重建(u * s[..., None, :]) @ vh或者u @ (s[..., None] * vh). (这@运算符可以替换为函数np.matmul对于低于 3.5 的 python 版本。)

如果a是一个matrix对象(相对于ndarray)，那么所有的返回值也是如此。

例子：

>>> a = np.random.randn(9, 6) + 1j*np.random.randn(9, 6)
>>> b = np.random.randn(2, 7, 8, 3) + 1j*np.random.randn(2, 7, 8, 3)

基于全 SVD 的重构，2D 案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u[:, :6] * s, vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

基于简化 SVD 的重建，2D 案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(u * s, vh))
True
>>> smat = np.diag(s)
>>> np.allclose(a, np.dot(u, np.dot(smat, vh)))
True

基于全SVD、4D案例的重构：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3] * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u[..., :3], s[..., None] * vh))
True

基于简化 SVD 的重建，4D 案例：

>>> u, s, vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> u.shape, s.shape, vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(u * s[..., None, :], vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(u, s[..., None] * vh))
True