Python numpy linalg.norm用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.linalg.norm 的用法。

用法:

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

矩陣或向量範數。

根據ord 參數的值，此函數能夠返回八種不同的矩陣範數之一，或無限數量的向量範數之一(如下所述)。

參數：

x： array_like

輸入數組。如果軸是無，x必須是一維或二維，除非ord是無。如果兩者軸和ord是無，的 2 範數x.ravel將被退回。

ord： {非零整數，inf，-inf，‘fro’, ‘nuc’}，可選

規範的順序(參見 Notes 下的表格)。 inf 表示 numpy 的 inf 對象。默認值為無。

axis： {無，整數，整數的 2 元組}，可選。

如果axis是一個整數，它指定x的軸，沿著它計算向量範數。如果axis是一個2元組，它指定保存二維矩陣的軸，並計算這些矩陣的矩陣範數。如果axis為None，則返回向量範數(當x為一維時)或矩陣範數(當x為二維時)。默認值為無。

keepdims： 布爾型，可選

如果將其設置為 True，則規範化的軸將作為尺寸為 1 的尺寸留在結果中。使用此選項，結果將針對原始 x 正確廣播。

返回：

n： 浮點數或 ndarray

矩陣或向量的範數。

注意：

對於 ord < 1 的值，嚴格來說，結果不是數學上的 ‘norm’，但它對於各種數值目的可能仍然有用。

可以計算以下規範：

ord	矩陣的範數	向量的範數
None	弗羅貝尼烏斯範數	2範數
‘fro’	弗羅貝尼烏斯範數	-
‘nuc’	核規範	-
inf	最大值(總和(絕對值(x)，軸 = 1))	最大值(絕對值(x))
-inf	最小值(總和(絕對值(x)，軸 = 1))	最小(絕對值(x))
0	-	總和(x!= 0)
1	最大值(總和(絕對值(x)，軸 = 0))	如下
-1	最小值(總和(絕對值(x)，軸 = 0))	如下
2	2-範數(最大單值)	如下
-2	最小奇異值	如下
other	-	總和(abs(x)**ord)**(1./ord)

Frobenius 範數由 [1] 給出：

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核範數是奇異值的總和。

Frobenius 和核範數階都隻為矩陣定義，並在 x.ndim != 2 時引發 ValueError 。

參考：

1：

G. H. Golub 和 C. F. Van Loan，矩陣計算，馬裏蘭州巴爾的摩，約翰霍普金斯大學出版社，1985 年，第 頁。 15

例子：

>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用軸參數計算向量範數：

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用軸參數計算矩陣範數：

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)