Python numpy linalg.qr用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.linalg.qr 的用法。

用法:

linalg.qr(a, mode='reduced')

計算矩陣的 qr 分解。

將矩陣 a 分解為 qr，其中 q 是正交矩陣，r 是上三角矩陣。

參數：

a： 數組，形狀(…，M，N)

維數至少為 2 的類數組對象。

mode： {‘reduced’, ‘complete’, ‘r’, ‘raw’}，可選

如果 K = min(M, N)，那麽

• ‘reduced’ 返回 q, r 和維度

  (…, M, K), (…, K, N) (默認)

• ‘complete’：返回 q, r，維度為 (..., M, M), (..., M, N)

• ‘r’ ：僅返回 r 尺寸(...，K，N)

• ‘raw’ : 返回 h, tau，尺寸為 (..., N, M), (..., K,)

‘reduced’、'complete 和 ‘raw’ 選項是 numpy 1.8 中的新選項，有關更多信息，請參閱注釋。默認值為‘reduced’，為了保持與早期版本的numpy的向後兼容性，可以省略它和舊的默認值‘full’。請注意，‘raw’ 模式中返回的數組 h 被轉置以調用 Fortran。 ‘economic’ 模式已棄用。模式‘full’ 和‘economic’ 可以僅使用第一個字母傳遞以實現向後兼容性，但必須拚寫所有其他字母。有關更多說明，請參閱注釋。

返回：

q： 浮點數或複數的ndarray，可選

具有正交列的矩陣。當 mode = ‘complete’ 時，結果是正交/酉矩陣，具體取決於 a 是否為實數/複數。在這種情況下，行列式可能是 +/- 1。如果輸入數組中的維數大於 2，則返回具有上述屬性的矩陣堆棧。

r： 浮點數或複數的ndarray，可選

如果輸入數組的維數大於 2，則為上三角矩陣或上三角矩陣堆棧。

(h, tau)： np.double 或 np.cdouble 的 ndarrays，可選

數組 h 包含生成 q 和 r 的 Householder 反射器。 tau 陣列包含反射器的比例因子。在已棄用的‘economic’ 模式中，僅返回 h。

拋出：

LinAlgError

如果保理失敗。

注意：

這是 LAPACK 例程 dgeqrf 、 zgeqrf 、 dorgqr 和 zungqr 的接口。

有關 qr 分解的更多信息，請參見例如：https://en.wikipedia.org/wiki/QR_factorization

的子類numpy.ndarray除‘raw’ 模式外，均保留。因此，如果a是類型numpy.matrix，所有的返回值也將是矩陣。

NumPy 1.8.0 中添加了新的 ‘reduced’, ‘complete’ 和 ‘raw’ 模式選項，舊選項 ‘full’ 被設為 ‘reduced’ 的別名。此外，選項 ‘full’ 和 ‘economic’ 已棄用。由於 ‘full’ 是以前的默認值，而 ‘reduced’ 是新的默認值，因此可以通過讓模式默認來保持向後兼容性。添加了 ‘raw’ 選項，以便可以使用可以使用 Householder 反射器將數組乘以 q 的 LAPACK 例程。請注意，在這種情況下，返回的數組的類型為 np.double 或 np.cdouble，並且 h 數組被轉置為與 FORTRAN 兼容。 numpy 目前沒有公開使用 ‘raw’ 返回的例程，但lapack_lite 中提供了一些例程，隻是等待必要的工作。

例子：

>>> a = np.random.randn(9, 6)
>>> q, r = np.linalg.qr(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(q, r))  # a does equal qr
True
>>> r2 = np.linalg.qr(a, mode='r')
>>> np.allclose(r, r2)  # mode='r' returns the same r as mode='full'
True
>>> a = np.random.normal(size=(3, 2, 2)) # Stack of 2 x 2 matrices as input
>>> q, r = np.linalg.qr(a)
>>> q.shape
(3, 2, 2)
>>> r.shape
(3, 2, 2)
>>> np.allclose(a, np.matmul(q, r))
True

說明 qr 常見用法的示例：解決最小二乘問題

least-squares-best 是什麽m和y0在y = y0 + mx對於以下數據：{(0,1), (1,0), (1,2), (2,1)}。 (繪製點，你會看到它應該是 y0 = 0，m = 1。)答案是通過求解over-determined 矩陣方程得到的Ax = b， 在哪裏：

A = array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
x = array([[y0], [m]])
b = array([[1], [0], [2], [1]])

如果 A = qr 使得 q 是正交的(通過Gram-Schmidt 總是可能的)，那麽 x = inv(r) * (q.T) * b 。 (然而，在 numpy 實踐中，我們隻使用 lstsq 。)

>>> A = np.array([[0, 1], [1, 1], [1, 1], [2, 1]])
>>> A
array([[0, 1],
       [1, 1],
       [1, 1],
       [2, 1]])
>>> b = np.array([1, 0, 2, 1])
>>> q, r = np.linalg.qr(A)
>>> p = np.dot(q.T, b)
>>> np.dot(np.linalg.inv(r), p)
array([  1.1e-16,   1.0e+00])