Python numpy linalg.eig用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.linalg.eig 的用法。

用法:

linalg.eig(a)

計算方陣的特征值和右特征向量。

參數：

a： (…, M, M) 數組

將計算特征值和右特征向量的矩陣

返回：

w： (…, M) 數組

特征值，每個都根據其多重性重複。特征值不一定是有序的。結果數組將是複數類型，除非虛部為零，在這種情況下它將被強製轉換為實數類型。當 a 為實數時，得到的特征值將是實數(0 虛部)或以共軛對形式出現

v： (…, M, M) 數組

歸一化(單元“length”)特征向量，使得列v[:,i]是對應於特征值w[i]的特征向量。

拋出：

LinAlgError

如果特征值計算不收斂。

注意：

廣播規則適用，有關詳細信息，請參閱 numpy.linalg 文檔。

這是使用_geev LAPACK 例程來實現的，該例程計算一般方陣的特征值和特征向量。

號碼w是一個特征值a如果存在向量v這樣a @ v = w * v.因此，數組a,w， 和v滿足方程a @ v[:,i] = w[i] * v[:,i]為了\(i \in \{0,...,M-1\}\).

數組v的特征向量可能不是最大秩，也就是說，一些列可能是線性相關的，盡管舍入誤差可能會掩蓋這一事實。如果特征值都不同，那麽理論上特征向量是線性獨立的，並且a可以通過使用相似變換對角化v， IE，inv(v) @ a @ v是對角線。

對於非 Hermitian 正規矩陣，SciPy 函數scipy.linalg.schur是首選，因為矩陣v保證是幺正的，使用的時候不是這樣eig. Schur 分解產生上三角矩陣而不是對角矩陣，但對於正規矩陣，隻需要上三角矩陣的對角線，其餘的是舍入誤差。

最後要強調的是v由正確的(如右側)的特征向量a.一個向量y令人滿意的y.T @ a = z * y.T對於一些數字z被稱為剩下的特征向量a，並且，一般來說，矩陣的左右特征向量不一定是彼此的(可能是共軛的)轉置。

參考：

G. Strang，線性代數及其應用，第 2 版，佛羅裏達州奧蘭多，學術出版社，1980 年，各種 pp。

例子：

>>> from numpy import linalg as LA

(幾乎)真實的e-values和e-vectors的簡單例子。

>>> w, v = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> w; v
array([1., 2., 3.])
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有複數e-values和e-vectors的實矩陣；請注意，e-values 是彼此的複共軛。

>>> w, v = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> w; v
array([1.+1.j, 1.-1.j])
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

Complex-valued 矩陣與實數 e-values(但 complex-valued e-vectors)；注意a.conj().T == a， IE。，a是厄米特。

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([2.+0.j, 0.+0.j])
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

小心舍入錯誤！

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. e-values are 1 +/- 1e-9
>>> w, v = LA.eig(a)
>>> w; v
array([1., 1.])
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])