Python SciPy linalg.svds用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.linalg.svds 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.svds(A, k=6, ncv=None, tol=0, which='LM', v0=None, maxiter=None, return_singular_vectors=True, solver='arpack', random_state=None, options=None)#

稀疏矩阵的部分奇异值分解。

计算稀疏矩阵 A 的最大或最小 k 个奇异值和对应的奇异向量。奇异值的返回顺序无法保证。

在下面的说明中，让 M, N = A.shape 。

参数 ：：

A： ndarray、稀疏矩阵或LinearOperator

用于分解浮点数字数据类型的矩阵。

k： 整数，默认：6

要计算的奇异值和奇异向量的数量。必须满足 1 <= k <= kmax ，其中 kmax=min(M, N) 用于 solver='propack' 和 kmax=min(M, N) - 1 否则。

ncv： 整数，可选

当 solver='arpack' 时，这是生成的 Lanczos 向量的数量。有关详细信息，请参阅‘arpack’。当 solver='lobpcg' 或 solver='propack' 时，忽略此参数。

tol： 浮点数，可选

奇异值的公差。零(默认)表示机器精度。

which： {‘LM’, ‘SM’}

要查找哪 k 个奇异值：最大幅度 (‘LM’) 或最小幅度 (‘SM’) 奇异值。

v0： ndarray，可选

迭代的起始向量；有关详细信息，请参阅 method-specific 文档 (‘arpack’, ‘lobpcg’) 或 ‘propack’。

maxiter： 整数，可选

最大迭代次数；有关详细信息，请参阅 method-specific 文档 (‘arpack’, ‘lobpcg’) 或 ‘propack’。

return_singular_vectors： {对，错，“u”, “vh”}

奇异值总是被计算并返回；该参数控制奇异向量的计算和返回。

• True：返回奇异向量。

• False：不返回奇异向量。

• "u" ：如果 M <= N ，则仅计算左奇异向量并为右奇异向量返回 None 。否则，计算所有奇异向量。

• "vh" ：如果 M > N ，则仅计算右奇异向量并为左奇异向量返回 None。否则，计算所有奇异向量。

如果 solver='propack' ，无论矩阵形状如何，都会尊重该选项。

solver： {‘arpack’, ‘propack’, ‘lobpcg’}，可选

使用的求解器。‘arpack’,‘lobpcg’， 和‘propack’都支持。默认：‘arpack’.

random_state： {无，整数， numpy.random.Generator ，

numpy.random.RandomState}, optional

用于生成重采样的伪随机数生成器状态。

如果random_state是None(或者np.random)， 这numpy.random.RandomState使用单例。如果random_state是一个 int，一个新的RandomState使用实例，播种random_state.如果random_state已经是一个Generator或者RandomState实例然后使用该实例。

options： 字典，可选

solver-specific 选项的字典。当前不支持solver-specific选项；此参数保留供将来使用。

返回 ：：

u： ndarray，形状=(M，k)

具有左奇异向量作为列的酉矩阵。

s： ndarray，形状=(k，)

奇异值。

vh： ndarray，形状=(k，N)

具有右奇异向量作为行的酉矩阵。

注意：

这是一种简单的实现，使用 ARPACK 或 LOBPCG 作为矩阵 A.conj().T @ A 或 A @ A.conj().T 上的特征求解器，具体取决于哪个尺寸较小，然后使用 Rayleigh-Ritz 方法作为后处理；请参阅使用法线矩阵，在 Rayleigh-Ritz 方法中，(2022 年，11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/4zms 。

或者，可以调用 PROPACK 求解器。

输入矩阵的选择A数字数据类型可能受到限制。仅有的solver="lobpcg"支持所有浮点数据类型实数：‘np.float32’、‘np.float64’、‘np.longdouble’和复数：‘np.complex64’、‘np.complex128’、‘np.clongdouble’。这solver="arpack"仅支持“np.float32”、“np.float64”和“np.complex128”。

例子：

从奇异值和向量构造矩阵 A。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import sparse, linalg, stats
>>> from scipy.sparse.linalg import svds, aslinearoperator, LinearOperator

从奇异值和向量构造一个稠密矩阵 A。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> orthogonal = stats.ortho_group.rvs(10, random_state=rng)
>>> s = [1e-3, 1, 2, 3, 4]  # non-zero singular values
>>> u = orthogonal[:, :5]         # left singular vectors
>>> vT = orthogonal[:, 5:].T      # right singular vectors
>>> A = u @ np.diag(s) @ vT

仅用四个奇异值/向量，SVD 就可以近似原始矩阵。

>>> u4, s4, vT4 = svds(A, k=4)
>>> A4 = u4 @ np.diag(s4) @ vT4
>>> np.allclose(A4, A, atol=1e-3)
True

利用所有五个非零奇异值/向量，我们可以更准确地再现原始矩阵。

>>> u5, s5, vT5 = svds(A, k=5)
>>> A5 = u5 @ np.diag(s5) @ vT5
>>> np.allclose(A5, A)
True

奇异值与预期奇异值匹配。

>>> np.allclose(s5, s)
True

由于在此示例中奇异值彼此并不接近，因此每个奇异向量都按预期匹配，但符号不同。

>>> (np.allclose(np.abs(u5), np.abs(u)) and
...  np.allclose(np.abs(vT5), np.abs(vT)))
True

奇异向量也是正交的。

>>> (np.allclose(u5.T @ u5, np.eye(5)) and
...  np.allclose(vT5 @ vT5.T, np.eye(5)))
True

如果存在(几乎)多个奇异值，则相应的单个奇异向量可能不稳定，但包含所有此类奇异向量的整个不变子空间可以准确计算，可以通过‘subspace_angles’通过子空间之间的角度来测量。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> s = [1, 1 + 1e-6]  # non-zero singular values
>>> u, _ = np.linalg.qr(rng.standard_normal((99, 2)))
>>> v, _ = np.linalg.qr(rng.standard_normal((99, 2)))
>>> vT = v.T
>>> A = u @ np.diag(s) @ vT
>>> A = A.astype(np.float32)
>>> u2, s2, vT2 = svds(A, k=2, random_state=rng)
>>> np.allclose(s2, s)
True

各个精确奇异向量和计算奇异向量之间的角度可能不会那么小。检查使用情况：

>>> (linalg.subspace_angles(u2[:, :1], u[:, :1]) +
...  linalg.subspace_angles(u2[:, 1:], u[:, 1:]))
array([0.06562513])  # may vary
>>> (linalg.subspace_angles(vT2[:1, :].T, vT[:1, :].T) +
...  linalg.subspace_angles(vT2[1:, :].T, vT[1:, :].T))
array([0.06562507])  # may vary

与这些向量跨越的二维不变子空间之间的角度相反，对于右奇异向量而言，该角度很小

>>> linalg.subspace_angles(u2, u).sum() < 1e-6
True

以及左奇异向量。

>>> linalg.subspace_angles(vT2.T, vT.T).sum() < 1e-6
True

下一个示例遵循“sklearn.decomposition.TruncatedSVD”的示例。

>>> rng = np.random.RandomState(0)
>>> X_dense = rng.random(size=(100, 100))
>>> X_dense[:, 2 * np.arange(50)] = 0
>>> X = sparse.csr_matrix(X_dense)
>>> _, singular_values, _ = svds(X, k=5, random_state=rng)
>>> print(singular_values)
[ 4.3293...  4.4491...  4.5420...  4.5987... 35.2410...]

无需显式构造输入矩阵的转置即可调用该函数。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> G = sparse.rand(8, 9, density=0.5, random_state=rng)
>>> Glo = aslinearoperator(G)
>>> _, singular_values_svds, _ = svds(Glo, k=5, random_state=rng)
>>> _, singular_values_svd, _ = linalg.svd(G.toarray())
>>> np.allclose(singular_values_svds, singular_values_svd[-4::-1])
True

最高效的内存场景是原始矩阵及其转置均未显式构造。我们的示例计算由按列使用的 numpy 函数“np.diff”构造的“LinearOperator”的最小奇异值和向量，以与对列进行操作的“LinearOperator”保持一致。

>>> diff0 = lambda a: np.diff(a, axis=0)

让我们从 ‘diff0’ 创建矩阵，仅用于验证。

>>> n = 5  # The dimension of the space.
>>> M_from_diff0 = diff0(np.eye(n))
>>> print(M_from_diff0.astype(int))
[[-1  1  0  0  0]
 [ 0 -1  1  0  0]
 [ 0  0 -1  1  0]
 [ 0  0  0 -1  1]]

矩阵‘M_from_diff0’是bi-diagonal，也可以直接创建

>>> M = - np.eye(n - 1, n, dtype=int)
>>> np.fill_diagonal(M[:,1:], 1)
>>> np.allclose(M, M_from_diff0)
True

它的转置

>>> print(M.T)
[[-1  0  0  0]
 [ 1 -1  0  0]
 [ 0  1 -1  0]
 [ 0  0  1 -1]
 [ 0  0  0  1]]

可以看作是关联矩阵；请参阅具有 5 个顶点和 4 个边的线性图的关联矩阵(2022 年 11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YXU。因此 5x5 法线矩阵 M.T @ M 是

>>> print(M.T @ M)
[[ 1 -1  0  0  0]
 [-1  2 -1  0  0]
 [ 0 -1  2 -1  0]
 [ 0  0 -1  2 -1]
 [ 0  0  0 -1  1]]

图拉普拉斯算子，而实际用于‘svds’较小尺寸的4x4法线矩阵M @ M.T

>>> print(M @ M.T)
[[ 2 -1  0  0]
 [-1  2 -1  0]
 [ 0 -1  2 -1]
 [ 0  0 -1  2]]

是所谓的基于边的拉普拉斯算子；请参阅拉普拉斯矩阵中的对称拉普拉斯通过关联矩阵，(2022 年，11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YXW 。

“LinearOperator”设置需要选项 ‘rmatvec’ 和 ‘rmatmat’ 乘以矩阵转置 M.T ，但我们希望成为 matrix-free 以节省内存，因此了解 M.T 的样子，我们手动构造以下函数将在 rmatmat=diff0t 中使用。

>>> def diff0t(a):
...     if a.ndim == 1:
...         a = a[:,np.newaxis]  # Turn 1D into 2D array
...     d = np.zeros((a.shape[0] + 1, a.shape[1]), dtype=a.dtype)
...     d[0, :] = - a[0, :]
...     d[1:-1, :] = a[0:-1, :] - a[1:, :]
...     d[-1, :] = a[-1, :]
...     return d

我们检查矩阵转置的函数 ‘diff0t’ 是否有效。

>>> np.allclose(M.T, diff0t(np.eye(n-1)))
True

现在我们设置matrix-free“LinearOperator”，名为‘diff0_func_aslo’，并验证基于矩阵的‘diff0_matrix_aslo’。

>>> def diff0_func_aslo_def(n):
...     return LinearOperator(matvec=diff0,
...                           matmat=diff0,
...                           rmatvec=diff0t,
...                           rmatmat=diff0t,
...                           shape=(n - 1, n))
>>> diff0_func_aslo = diff0_func_aslo_def(n)
>>> diff0_matrix_aslo = aslinearoperator(M_from_diff0)

并在“LinearOperator”中验证矩阵及其转置。

>>> np.allclose(diff0_func_aslo(np.eye(n)),
...             diff0_matrix_aslo(np.eye(n)))
True
>>> np.allclose(diff0_func_aslo.T(np.eye(n-1)),
...             diff0_matrix_aslo.T(np.eye(n-1)))
True

验证“LinearOperator”设置后，我们运行求解器。

>>> n = 100
>>> diff0_func_aslo = diff0_func_aslo_def(n)
>>> u, s, vT = svds(diff0_func_aslo, k=3, which='SM')

奇异值平方和奇异向量是明确已知的；请参阅纯狄利克雷边界条件，在二阶导数的特征值和特征向量中，(2022 年，11 月 19 日)，维基百科，https://w.wiki/5YX6，因为 ‘diff’ 对应于一阶导数，其较小的大小 n-1 x n-1 法线矩阵M @ M.T 表示具有狄利克雷边界条件的离散二阶导数。我们使用这些分析表达式进行验证。

>>> se = 2. * np.sin(np.pi * np.arange(1, 4) / (2. * n))
>>> ue = np.sqrt(2 / n) * np.sin(np.pi * np.outer(np.arange(1, n),
...                              np.arange(1, 4)) / n)
>>> np.allclose(s, se, atol=1e-3)
True
>>> print(np.allclose(np.abs(u), np.abs(ue), atol=1e-6))
True