Python SciPy interpolate.RBFInterpolator用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.interpolate.RBFInterpolator 的用法。

用法:

class  scipy.interpolate.RBFInterpolator(y, d, neighbors=None, smoothing=0.0, kernel='thin_plate_spline', epsilon=None, degree=None)#

N 維徑向基函數 (RBF) 插值。

參數 ：：

y： (npoints, ndims) 類似數組

數據點坐標的二維數組。

d： (npoints, …) 數組

N-D y 處的數據值數組。 d 沿第一軸的長度必須等於 y 的長度。與某些插補器不同，插補軸無法更改。

neighbors： 整數，可選

如果指定，將僅使用這麽多最近的數據點計算每個評估點的插值值。默認使用所有數據點。

smoothing： float 或 (npoints, ) 數組，可選

平滑參數。將其設置為 0 時，插值與數據完美擬合。對於較大的值，插值接近具有指定次數的多項式的最小二乘擬合。默認值為 0。

kernel： str，可選

RBF 類型。這應該是其中之一

• ‘linear’ : -r

• ‘thin_plate_spline’ : r**2 * log(r)

• ‘cubic’ : r**3

• ‘quintic’ : -r**5

• ‘multiquadric’ : -sqrt(1 + r**2)

• ‘inverse_multiquadric’ : 1/sqrt(1 + r**2)

• ‘inverse_quadratic’ : 1/(1 + r**2)

• ‘gaussian’ : exp(-r**2)

默認為‘thin_plate_spline’。

epsilon： 浮點數，可選

縮放 RBF 輸入的形狀參數。如果內核是‘linear’, ‘thin_plate_spline’、‘cubic’或‘quintic’，則默認為1並且可以忽略，因為它與縮放平滑參數具有相同的效果。否則，必須指定這一點。

degree： 整數，可選

添加多項式的次數。對於某些 RBF，如果多項式次數太小，則插值可能不是well-posed。這些 RBF 及其相應的最小度數是

• ‘multiquadric’ : 0

• ‘linear’ : 0

• ‘thin_plate_spline’ : 1

• ‘cubic’ : 1

• ‘quintic’ : 2

默認值為內核的最小度數，如果沒有最小度數，則為 0。將此設置為 -1 表示不添加多項式。

注意：

RBF 是 N 維空間中的標量值函數，其在 \(x\) 處的值可以用 \(r=||x - c||\) 表示，其中 \(c\) 是 RBF 的中心。

來自位置 \(y\) 的數據值向量 \(d\) 的 RBF 插值是以 \(y\) 為中心的 RBF 加上具有指定次數的多項式的線性組合。 RBF 插值寫為

\[f(x) = K(x, y) a + P(x) b,\]

其中 \(K(x, y)\) 是 RBF 的矩陣，其中心在 \(y\) 在點 \(x\) 處評估，而 \(P(x)\) 是單項式矩陣，它跨越具有指定次數的多項式，在 \(x\) 處評估。係數 \(a\) 和 \(b\) 是線性方程組的解

\[(K(y, y) + \lambda I) a + P(y) b = d\]

和

\[P(y)^T a = 0,\]

其中\(\lambda\) 是一個非負平滑參數，用於控製我們想要擬合數據的程度。當平滑參數為 0 時，數據完全擬合。

如果滿足以下要求，則上述係統是唯一可解決的：

• \(P(y)\) must have full column rank. \(P(y)\) always has full column rank when degree is -1 or 0. When degree is 1, \(P(y)\) has full column rank if the data point locations are not all collinear (N=2), coplanar (N=3), etc.

• If kernel is ‘multiquadric’, ‘linear’, ‘thin_plate_spline’, ‘cubic’, or ‘quintic’, then degree must not be lower than the minimum value listed above.

• If smoothing is 0, then each data point location must be distinct.

當使用非尺度不變的 RBF(‘multiquadric’, ‘inverse_multiquadric’、‘inverse_quadratic’ 或 ‘gaussian’)時，必須選擇適當的形狀參數(例如，通過交叉驗證)。較小的形狀參數值對應於較寬的 RBF。當形狀參數太小時，問題可能會變成ill-conditioned 或單數。

求解 RBF 插值係數所需的內存隨著數據點的數量呈二次方增加，當插值超過大約一千個數據點時，這可能變得不切實際。為了克服大型插值問題的內存限製，可以指定近鄰參數以僅使用最近的數據點為每個評估點計算 RBF 插值。

參考：

[1]

Fasshauer, G.，2007 年。使用 Matlab 的無網格近似方法。世界科學出版公司

[2]

http://amadeus.math.iit.edu/~fass/603_ch3.pdf

[3]

Wahba, G.，1990。觀測數據的樣條模型。暹。

[4]

http://pages.stat.wisc.edu/~wahba/stat860public/lect/lect8/lect8.pdf

例子：

演示將分散的數據插值到二維網格中。

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.interpolate import RBFInterpolator
>>> from scipy.stats.qmc import Halton

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> xobs = 2*Halton(2, seed=rng).random(100) - 1
>>> yobs = np.sum(xobs, axis=1)*np.exp(-6*np.sum(xobs**2, axis=1))

>>> xgrid = np.mgrid[-1:1:50j, -1:1:50j]
>>> xflat = xgrid.reshape(2, -1).T
>>> yflat = RBFInterpolator(xobs, yobs)(xflat)
>>> ygrid = yflat.reshape(50, 50)

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.pcolormesh(*xgrid, ygrid, vmin=-0.25, vmax=0.25, shading='gouraud')
>>> p = ax.scatter(*xobs.T, c=yobs, s=50, ec='k', vmin=-0.25, vmax=0.25)
>>> fig.colorbar(p)
>>> plt.show()