Python SciPy special.chebyt用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.special.chebyt 的用法。

用法:

scipy.special.chebyt(n, monic=False)#

第一类切比雪夫多项式。

定义为解决方案

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}T_n - x\frac{d}{dx}T_n + n^2T_n = 0;\]

\(T_n\) 是一次多项式 \(n\) 。

参数 ：：

n： int

多项式的次数。

monic： 布尔型，可选

如果为 True，则将前导系数缩放为 1。默认为 False。

返回 ：：

T： orthopoly1d

第一类切比雪夫多项式。

注意：

多项式 \(T_n\) 与 \([-1, 1]\) 正交，权重函数为 \((1 - x^2)^{-1/2}\) 。

参考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合编。带有公式、图表和数学表格的数学函数手册。纽约：多佛，1972 年。

例子：

第一类\(n\) 的切比雪夫多项式可以作为特定\(n \times n\) 矩阵的行列式获得。例如，我们可以检查从以下 \(3 \times 3\) 矩阵的行列式获得的点如何准确地放置在 \(T_3\) 上：

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $T_3$')
>>> ax.plot(x, chebyt(3)(x), label=rf'$T_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

它们还通过以下关系与 Jacobi 多项式\(P_n^{(-0.5, -0.5)}\) 相关：

\[P_n^{(-0.5, -0.5)}(x) = \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} T_n(x)\]

让我们为 \(n = 3\) 验证它：

>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(3, -0.5, -0.5)(x),
...             1/64 * binom(6, 3) * chebyt(3)(x))
True

我们可以为 \(n\) 的某些值绘制切比雪夫多项式 \(T_n\) ：

>>> x = np.arange(-1.5, 1.5, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-4.0, 4.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $T_n$')
>>> for n in np.arange(2,5):
...     ax.plot(x, chebyt(n)(x), label=rf'$T_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()