Python SciPy special.chebyt用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.chebyt 的用法。

用法:

scipy.special.chebyt(n, monic=False)#

第一類切比雪夫多項式。

定義為解決方案

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}T_n - x\frac{d}{dx}T_n + n^2T_n = 0;\]

\(T_n\) 是一次多項式 \(n\) 。

參數 ：：

n： int

多項式的次數。

monic： 布爾型，可選

如果為 True，則將前導係數縮放為 1。默認為 False。

返回 ：：

T： orthopoly1d

第一類切比雪夫多項式。

注意：

多項式 \(T_n\) 與 \([-1, 1]\) 正交，權重函數為 \((1 - x^2)^{-1/2}\) 。

參考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

第一類\(n\) 的切比雪夫多項式可以作為特定\(n \times n\) 矩陣的行列式獲得。例如，我們可以檢查從以下 \(3 \times 3\) 矩陣的行列式獲得的點如何準確地放置在 \(T_3\) 上：

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $T_3$')
>>> ax.plot(x, chebyt(3)(x), label=rf'$T_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

它們還通過以下關係與 Jacobi 多項式\(P_n^{(-0.5, -0.5)}\) 相關：

\[P_n^{(-0.5, -0.5)}(x) = \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} T_n(x)\]

讓我們為 \(n = 3\) 驗證它：

>>> from scipy.special import binom
>>> from scipy.special import jacobi
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(jacobi(3, -0.5, -0.5)(x),
...             1/64 * binom(6, 3) * chebyt(3)(x))
True

我們可以為 \(n\) 的某些值繪製切比雪夫多項式 \(T_n\) ：

>>> x = np.arange(-1.5, 1.5, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-4.0, 4.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $T_n$')
>>> for n in np.arange(2,5):
...     ax.plot(x, chebyt(n)(x), label=rf'$T_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()