Python SciPy special.chebyu用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.chebyu 的用法。

用法:

scipy.special.chebyu(n, monic=False)#

第二類切比雪夫多項式。

定義為解決方案

\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}U_n - 3x\frac{d}{dx}U_n + n(n + 2)U_n = 0;\]

\(U_n\) 是一次多項式 \(n\) 。

參數 ：：

n： int

多項式的次數。

monic： 布爾型，可選

如果為 True，則將前導係數縮放為 1。默認為 False。

返回 ：：

U： orthopoly1d

第二類切比雪夫多項式。

注意：

多項式 \(U_n\) 與 \([-1, 1]\) 正交，權重函數為 \((1 - x^2)^{1/2}\) 。

參考：

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

第二類切比雪夫多項式\(n\)可以作為特定\(n \times n\)矩陣的行列式獲得。例如，我們可以檢查從以下 \(3 \times 3\) 矩陣的行列式獲得的點如何準確地放置在 \(U_3\) 上：

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.linalg import det
>>> from scipy.special import chebyu
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomial $U_3$')
>>> ax.plot(x, chebyu(3)(x), label=rf'$U_3$')
>>> for p in np.arange(-1.0, 1.0, 0.1):
...     ax.plot(p,
...             det(np.array([[2*p, 1, 0], [1, 2*p, 1], [0, 1, 2*p]])),
...             'rx')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

它們滿足遞歸關係：

\[U_{2n-1}(x) = 2 T_n(x)U_{n-1}(x)\]

其中\(T_n\) 是第一類切比雪夫多項式。讓我們為 \(n = 2\) 驗證它：

>>> from scipy.special import chebyt
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(chebyu(3)(x), 2 * chebyt(2)(x) * chebyu(1)(x))
True

我們可以為 \(n\) 的某些值繪製切比雪夫多項式 \(U_n\) ：

>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
>>> ax.set_title(r'Chebyshev polynomials $U_n$')
>>> for n in np.arange(1,5):
...     ax.plot(x, chebyu(n)(x), label=rf'$U_n={n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()