Python SciPy linalg.qr_update用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.linalg.qr_update 的用法。

用法:

scipy.linalg.qr_update(Q, R, u, v, overwrite_qruv=False, check_finite=True)#

Rank-k二维码更新

如果 A = Q R 是 A 的 QR 分解，则返回实数 A 的 A + u v**T 的 QR 分解或复数 A 的 A + u v**H 。

参数 ：：

Q： (M, M) 或 (M, N) 数组

来自 A 的 qr 分解的酉/正交矩阵。

R： (M, N) 或 (N, N) 数组

来自 A 的 qr 分解的上三角矩阵。

u： (M,) 或 (M, k) 数组

左更新向量

v： (N,) 或 (N, k) 数组

右更新向量

overwrite_qruv： 布尔型，可选

如果为 True，则在执行更新时尽可能使用 Q、R、u 和 v，否则根据需要进行复制。默认为假。

check_finite： 布尔型，可选

是否检查输入矩阵是否仅包含有限数。禁用可能会提高性能，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题(崩溃、非终止)。默认为真。

返回 ：：

Q1： ndarray

更新了单一/正交因子

R1： ndarray

更新了上三角因子

注意：

此例程不保证 R1 的对角线条目是实数或正数。

参考：

[1]

Golub, G. H. & Van Loan, C. F. 矩阵计算，第 3 版。 (约翰霍普金斯大学出版社，1996 年)。

[2]

Daniel, J. W., Gragg, W. B., Kaufman, L. & Stewart, G. W. 用于更新Gram-Schmidt QR 分解的重新正交化和稳定算法。数学。计算。 30, 772-795 (1976)。

[3]

Reichel, L. 和 Gragg, W. B. 算法 686：用于更新 QR 分解的 FORTRAN 子例程。 ACM 翻译。数学。软件。 16, 369-377 (1990)。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[  3.,  -2.,  -2.],
...               [  6.,  -9.,  -3.],
...               [ -3.,  10.,   1.],
...               [  6.,  -7.,   4.],
...               [  7.,   8.,  -6.]])
>>> q, r = linalg.qr(a)

给定这个 q, r 分解，执行 1 级更新。

>>> u = np.array([7., -2., 4., 3., 5.])
>>> v = np.array([1., 3., -5.])
>>> q_up, r_up = linalg.qr_update(q, r, u, v, False)
>>> q_up
array([[ 0.54073807,  0.18645997,  0.81707661, -0.02136616,  0.06902409],  # may vary (signs)
       [ 0.21629523, -0.63257324,  0.06567893,  0.34125904, -0.65749222],
       [ 0.05407381,  0.64757787, -0.12781284, -0.20031219, -0.72198188],
       [ 0.48666426, -0.30466718, -0.27487277, -0.77079214,  0.0256951 ],
       [ 0.64888568,  0.23001   , -0.4859845 ,  0.49883891,  0.20253783]])
>>> r_up
array([[ 18.49324201,  24.11691794, -44.98940746],  # may vary (signs)
       [  0.        ,  31.95894662, -27.40998201],
       [  0.        ,   0.        ,  -9.25451794],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ]])

更新是等效的，但比以下更新更快。

>>> a_up = a + np.outer(u, v)
>>> q_direct, r_direct = linalg.qr(a_up)

检查我们是否有相同的结果：

>>> np.allclose(np.dot(q_up, r_up), a_up)
True

并且更新后的 Q 仍然是单一的：

>>> np.allclose(np.dot(q_up.T, q_up), np.eye(5))
True

也可以更新经济(简化的、精简的)分解：

>>> qe, re = linalg.qr(a, mode='economic')
>>> qe_up, re_up = linalg.qr_update(qe, re, u, v, False)
>>> qe_up
array([[ 0.54073807,  0.18645997,  0.81707661],  # may vary (signs)
       [ 0.21629523, -0.63257324,  0.06567893],
       [ 0.05407381,  0.64757787, -0.12781284],
       [ 0.48666426, -0.30466718, -0.27487277],
       [ 0.64888568,  0.23001   , -0.4859845 ]])
>>> re_up
array([[ 18.49324201,  24.11691794, -44.98940746],  # may vary (signs)
       [  0.        ,  31.95894662, -27.40998201],
       [  0.        ,   0.        ,  -9.25451794]])
>>> np.allclose(np.dot(qe_up, re_up), a_up)
True
>>> np.allclose(np.dot(qe_up.T, qe_up), np.eye(3))
True

与上述类似，执行 2 级更新。

>>> u2 = np.array([[ 7., -1,],
...                [-2.,  4.],
...                [ 4.,  2.],
...                [ 3., -6.],
...                [ 5.,  3.]])
>>> v2 = np.array([[ 1., 2.],
...                [ 3., 4.],
...                [-5., 2]])
>>> q_up2, r_up2 = linalg.qr_update(q, r, u2, v2, False)
>>> q_up2
array([[-0.33626508, -0.03477253,  0.61956287, -0.64352987, -0.29618884],  # may vary (signs)
       [-0.50439762,  0.58319694, -0.43010077, -0.33395279,  0.33008064],
       [-0.21016568, -0.63123106,  0.0582249 , -0.13675572,  0.73163206],
       [ 0.12609941,  0.49694436,  0.64590024,  0.31191919,  0.47187344],
       [-0.75659643, -0.11517748,  0.10284903,  0.5986227 , -0.21299983]])
>>> r_up2
array([[-23.79075451, -41.1084062 ,  24.71548348],  # may vary (signs)
       [  0.        , -33.83931057,  11.02226551],
       [  0.        ,   0.        ,  48.91476811],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ],
       [  0.        ,   0.        ,   0.        ]])

此更新也是 A + U V**T 的有效 qr 分解。

>>> a_up2 = a + np.dot(u2, v2.T)
>>> np.allclose(a_up2, np.dot(q_up2, r_up2))
True
>>> np.allclose(np.dot(q_up2.T, q_up2), np.eye(5))
True