Python SciPy fftpack.dct用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.fftpack.dct 的用法。

用法:

scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False)#

返回任意类型序列 x 的离散余弦变换。

参数 ：：

x： array_like

输入数组。

type： {1, 2, 3, 4}，可选

DCT 的类型(见注释)。默认类型为 2。

n： 整数，可选

变换的长度。如果n < x.shape[axis],x被截断。如果n > x.shape[axis],x是零填充的。默认结果是n = x.shape[axis].

axis： 整数，可选

计算 dct 的轴；默认值在最后一个轴上(即 axis=-1 )。

norm： {无，‘ortho’}，可选

标准化模式(见注释)。默认为无。

overwrite_x： 布尔型，可选

如果为 True，则 x 的内容可以被销毁；默认为假。

返回 ：：

y： 真实的ndarray

转换后的输入数组。

注意：

对于一维数组 x ， dct(x, norm='ortho') 等于 MATLAB dct(x) 。

理论上有 8 种类型的 DCT，只有前 4 种类型在 scipy 中实现。 ‘The’DCT一般指DCT类型2，‘the’逆DCT一般指DCT类型3。

第一类

DCT-I有几个定义；我们使用以下内容(对于 norm=None )

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果norm='ortho'、x[0]和x[N-1]乘以缩放因子\(\sqrt{2}\)，并且y[k]乘以缩放因子f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{N-1}} & \text{if }k=0\text{ or }N-1, \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{N-1}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

注意

DCT-I 仅支持输入大小 > 1。

Ⅱ型

DCT-II有几个定义；我们使用以下内容(对于 norm=None )

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 norm='ortho' ， y[k] 乘以缩放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{4N}} & \text{if }k=0, \\ \sqrt{\frac{1}{2N}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

这使得相应的系数矩阵正交(O @ O.T = np.eye(N))。

第三类

有几个定义，我们使用以下(对于norm=None)

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

或者，对于norm='ortho'

\[y_k = \frac{x_0}{\sqrt{N}} + \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

(未归一化的)DCT-III 是(未归一化的)DCT-II 的倒数，最大因子为 2N。正交归一化的DCT-III 与正交归一化的DCT-II 正好相反。

Ⅳ型

DCT-IV有几个定义；我们使用以下内容(对于 norm=None )

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

如果 norm='ortho' ， y[k] 乘以缩放因子 f

\[f = \frac{1}{\sqrt{2N}}\]

参考：

[1]

“一维和二维的快速余弦变换”，作者：J. Makhoul，IEEE 声学、语音和信号处理汇刊卷。 28(1)，第 27-34 页，DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351(1980 年)。

[2]

维基百科，“Discrete cosine transform”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

例子：

对于真实的even-symmetrical 输入，Type 1 DCT 等效于 FFT(虽然更快)。输出也是真实的和even-symmetrical。一半的 FFT 输入用于生成一半的 FFT 输出：

>>> from scipy.fftpack import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])