Python SciPy fftpack.dct用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.fftpack.dct 的用法。

用法:

scipy.fftpack.dct(x, type=2, n=None, axis=-1, norm=None, overwrite_x=False)#

返回任意類型序列 x 的離散餘弦變換。

參數 ：：

x： array_like

輸入數組。

type： {1, 2, 3, 4}，可選

DCT 的類型(見注釋)。默認類型為 2。

n： 整數，可選

變換的長度。如果n < x.shape[axis],x被截斷。如果n > x.shape[axis],x是零填充的。默認結果是n = x.shape[axis].

axis： 整數，可選

計算 dct 的軸；默認值在最後一個軸上(即 axis=-1 )。

norm： {無，‘ortho’}，可選

標準化模式(見注釋)。默認為無。

overwrite_x： 布爾型，可選

如果為 True，則 x 的內容可以被銷毀；默認為假。

返回 ：：

y： 真實的ndarray

轉換後的輸入數組。

注意：

對於一維數組 x ， dct(x, norm='ortho') 等於 MATLAB dct(x) 。

理論上有 8 種類型的 DCT，隻有前 4 種類型在 scipy 中實現。 ‘The’DCT一般指DCT類型2，‘the’逆DCT一般指DCT類型3。

第一類

DCT-I有幾個定義；我們使用以下內容(對於 norm=None )

\[y_k = x_0 + (-1)^k x_{N-1} + 2 \sum_{n=1}^{N-2} x_n \cos\left( \frac{\pi k n}{N-1} \right)\]

如果norm='ortho'、x[0]和x[N-1]乘以縮放因子\(\sqrt{2}\)，並且y[k]乘以縮放因子f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{N-1}} & \text{if }k=0\text{ or }N-1, \\ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{N-1}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

注意

DCT-I 僅支持輸入大小 > 1。

Ⅱ型

DCT-II有幾個定義；我們使用以下內容(對於 norm=None )

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi k(2n+1)}{2N} \right)\]

如果 norm='ortho' ， y[k] 乘以縮放因子 f

\[\begin{split}f = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{4N}} & \text{if }k=0, \\ \sqrt{\frac{1}{2N}} & \text{otherwise} \end{cases}\end{split}\]

這使得相應的係數矩陣正交(O @ O.T = np.eye(N))。

第三類

有幾個定義，我們使用以下(對於norm=None)

\[y_k = x_0 + 2 \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

或者，對於norm='ortho'

\[y_k = \frac{x_0}{\sqrt{N}} + \sqrt{\frac{2}{N}} \sum_{n=1}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)n}{2N}\right)\]

(未歸一化的)DCT-III 是(未歸一化的)DCT-II 的倒數，最大因子為 2N。正交歸一化的DCT-III 與正交歸一化的DCT-II 正好相反。

Ⅳ型

DCT-IV有幾個定義；我們使用以下內容(對於 norm=None )

\[y_k = 2 \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cos\left(\frac{\pi(2k+1)(2n+1)}{4N} \right)\]

如果 norm='ortho' ， y[k] 乘以縮放因子 f

\[f = \frac{1}{\sqrt{2N}}\]

參考：

[1]

“一維和二維的快速餘弦變換”，作者：J. Makhoul，IEEE 聲學、語音和信號處理匯刊卷。 28(1)，第 27-34 頁，DOI:10.1109/TASSP.1980.1163351(1980 年)。

[2]

維基百科，“Discrete cosine transform”，https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_cosine_transform

例子：

對於真實的even-symmetrical 輸入，Type 1 DCT 等效於 FFT(雖然更快)。輸出也是真實的和even-symmetrical。一半的 FFT 輸入用於生成一半的 FFT 輸出：

>>> from scipy.fftpack import fft, dct
>>> import numpy as np
>>> fft(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])).real
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.,   6.,  -8.])
>>> dct(np.array([4., 3., 5., 10.]), 1)
array([ 30.,  -8.,   6.,  -2.])