Python SciPy linalg.eigs用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.sparse.linalg.eigs 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)#

求方陣 A 的 k 個特征值和特征向量。

解決 A @ x[i] = w[i] * x[i] ，即 w[i] 特征值與相應特征向量 x[i] 的標準特征值問題。

如果指定了 M，則求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i] ，即 w[i] 特征值與相應特征向量 x[i] 的廣義特征值問題

參數 ：：

A： ndarray，稀疏矩陣或LinearOperator

表示操作 A @ x 的數組、稀疏矩陣或 LinearOperator，其中 A 是實數或複數方陣。

k： 整數，可選

所需的特征值和特征向量的數量。 k 必須小於 N-1。不可能計算矩陣的所有特征向量。

M： ndarray，稀疏矩陣或 LinearOperator，可選

表示廣義特征值問題的操作 M@x 的數組、稀疏矩陣或 LinearOperator

A @ x = w * M @ x.

如果 A 是實數，則 M 必須表示一個實對稱矩陣，如果 A 是複數，則 M 必須表示一個複數 Hermitian 矩陣。為獲得最佳結果，M 的數據類型應與 A 的數據類型相同。另外：

If sigma is None, M is positive definite

If sigma is specified, M is positive semi-definite

如果 sigma 為 None，則 eigs 需要一個運算符來計算線性方程 M @ x = b 的解。這是通過對顯式矩陣 M 的(稀疏)LU 分解或通過對一般線性算子的迭代求解器在內部完成的。或者，用戶可以提供矩陣或運算符 Minv，它給出 x = Minv @ b = M^-1 @ b 。

sigma： 實數或複數，可選

使用 shift-invert 模式查找 sigma 附近的特征值。這需要一個運算符來計算線性係統 [A - sigma * M] @ x = b 的解，其中 M 是單位矩陣(如果未指定)。這是通過顯式矩陣 A 和 M 的(稀疏)LU 分解在內部計算的，或者如果 A 或 M 是一般線性運算符，則通過迭代求解器進行內部計算。或者，用戶可以提供矩陣或運算符 OPinv，它給出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b 。對於實數矩陣 A，shift-invert 可以在虛數模式或實數模式下完成，由參數 OPpart(‘r’ 或 ‘i’)指定。請注意，當指定 sigma 時，關鍵字 ‘which’(如下)指的是移位的特征值 w'[i]，其中：

If A is real and OPpart == ‘r’ (default),

w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].

If A is real and OPpart == ‘i’,

w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].

If A is complex, w'[i] = 1/(w[i]-sigma).

v0： ndarray，可選

迭代的起始向量。默認值：隨機

ncv： 整數，可選

生成的 Lanczos 向量的數量數控車床必須大於k;建議ncv > 2*k.默認：min(n, max(2*k + 1, 20))

which： str, ['LM' | 'SM' | 'LR' | 'SR' | ‘李’ | ‘SI’]，可選

要找到哪些 k 個特征向量和特征值：

‘LM’ : largest magnitude

‘SM’ : smallest magnitude

‘LR’ : largest real part

‘SR’ : smallest real part

‘LI’ : largest imaginary part

‘SI’ : smallest imaginary part

當 sigma != None 時，‘which’ 指的是移位的特征值 w'[i](參見上文 ‘sigma’ 中的討論)。 ARPACK 通常比小值更擅長查找大值。如果需要小特征值，請考慮使用shift-invert 模式以獲得更好的性能。

maxiter： 整數，可選

允許的最大 Arnoldi 更新迭代次數默認值：n*10

tol： 浮點數，可選

特征值的相對精度(停止標準) 默認值 0 表示機器精度。

return_eigenvectors： 布爾型，可選

除了特征值之外，還返回特征向量 (True)

Minv： ndarray，稀疏矩陣或 LinearOperator，可選

見上文 M 中的注釋。

OPinv： ndarray，稀疏矩陣或 LinearOperator，可選

請參見上文 sigma 中的注釋。

OPpart： {‘r’ 或 ‘i’}，可選

請參閱上麵的 sigma 中的注釋

返回 ：：

w： ndarray

k 個特征值的數組。

v： ndarray

一個數組k特征向量。v[:, i]是對應於特征值 w[i] 的特征向量。

拋出 ：：

ArpackNoConvergence

當未獲得要求的收斂時。當前收斂的特征值和特征向量可以在異常對象的eigenvalues和eigenvectors屬性中找到。

注意：

此函數是 ARPACK [1] SNEUPD、DNEUPD、CNEUPD、ZNEUPD 的包裝器，這些函數使用隱式重啟 Arnoldi 方法來查找特征值和特征向量 [2]。

參考：

[1]

ARPACK 軟件，https://github.com/opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq、D. C. Sorensen 和 C. Yang，ARPACK 用戶指南：通過隱式重啟 Arnoldi 方法解決大規模特征值問題。暹羅，賓夕法尼亞州費城，1998 年。

例子：

求單位矩陣的 6 個特征向量：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)