Python SciPy linalg.eigh用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.linalg.eigh 的用法。

用法:

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, turbo=<object object>, eigvals=<object object>, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)#

求解複 Hermitian 或實對稱矩陣的標準或廣義特征值問題。

查找特征值數組 w 和可選的特征向量數組 v 的數組 a ，其中 b 是正定的，使得對於每個特征值 λ (w 的i-th 條目)及其特征向量 vi (i-th v 的列)滿足：

a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在標準問題中，b 被假定為單位矩陣。

參數 ：：

a： (M, M) 數組

將計算其特征值和特征向量的複 Hermitian 或實對稱矩陣。

b： (M, M) 數組，可選

中的複數 Hermitian 或實對稱定正矩陣。如果省略，則假定為單位矩陣。

lower： 布爾型，可選

相關數組數據是否取自 a 的下三角形或上三角形，以及 b(如果適用)。 (默認值：較低)

eigvals_only： 布爾型，可選

是否隻計算特征值而不計算特征向量。 (默認：兩者都計算)

subset_by_index： 可迭代的，可選的

如果提供，此二元素迭代定義所需特征值的開始和結束索引(升序和 0 索引)。要僅返回第二小到第五小的特征值，請使用[1, 4]。 [n-3, n-1] 返回最大的三個。僅適用於 “evr”, “evx” 和 “gvx” 驅動程序。這些條目通過 int() 直接轉換為整數。

subset_by_value： 可迭代的，可選的

如果提供，此二元素迭代定義半開區間 (a, b]，如果有的話，僅返回這些值之間的特征值。僅適用於 “evr”, “evx” 和 “gvx” 驅動程序。對於不受約束的末端使用np.inf。

driver： str，可選

定義應該使用哪個 LAPACK 驅動程序。標準問題的有效選項是 “ev”, “evd”, “evr”, “evx”，廣義(其中 b 不是無)問題的有效選項是 “gv”, “gvd”, “gvx”。請參閱注釋部分。標準問題的默認值為“evr”。對於廣義問題，“gvd” 用於完整集，“gvx” 用於子集請求案例。

type： 整數，可選

對於廣義問題，此關鍵字指定w和v要解決的問題類型(僅將1、2、3作為可能的輸入)：

1 =>     a @ v = w @ b @ v
2 => a @ b @ v = w @ v
3 => b @ a @ v = w @ v

對於標準問題，此關鍵字將被忽略。

overwrite_a： 布爾型，可選

是否覆蓋a中的數據(可能會提高性能)。默認為假。

overwrite_b： 布爾型，可選

是否覆蓋b中的數據(可能會提高性能)。默認為假。

check_finite： 布爾型，可選

是否檢查輸入矩陣是否僅包含有限數。禁用可能會提高性能，但如果輸入確實包含無窮大或 NaN，則可能會導致問題(崩潰、非終止)。

turbo： 布爾值，可選，已棄用

eigvals： 元組 (lo, hi)，可選，已棄用

返回 ：：

w： (N,) 數組

N (N<=M) 個選定的特征值按升序排列，每個特征值根據其重數重複。

v： (M, N) ndarray

與特征值w[i]對應的歸一化特征向量是列v[:,i]。僅在 eigvals_only=False 時返回。

拋出 ：：

LinAlgError

如果特征值計算不收斂，則發生錯誤，或者 b 矩陣不是確定的正數。請注意，如果輸入矩陣不是對稱的或 Hermitian 矩陣，則不會報告錯誤但結果會錯誤。

注意：

此函數不檢查輸入數組是否為 Hermitian/對稱，以便允許僅使用其上/下三角形部分來表示數組。另外請注意，即使沒有考慮在內，有限性檢查也適用於整個數組並且不受“lower” 關鍵字的影響。

此函數使用 LAPACK 驅動程序在所有可能的關鍵字組合中進行計算，如果數組是實數，則以 sy 為前綴，如果是複數，則以 he 為前綴，例如，帶有 “evr” 驅動程序的浮點數組通過 “syevr” 求解，複數數組帶有 “gvx”驅動問題通過“hegvx”等解決。

作為一個簡短的總結，最慢和最強大的驅動程序是使用對稱 QR 的經典 <sy/he>ev。 <sy/he>evr 被視為最一般情況下的最佳選擇。但是，在某些情況下，<sy/he>evd 計算速度更快，但會消耗更多內存。 <sy/he>evx 雖然仍然比 <sy/he>ev 快，但性能通常比其他的差，除非大型數組需要很少的特征值，但仍然沒有性能保證。

對於廣義問題，關於給定類型參數的規範化：

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

僅請求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

請求小於 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
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