Python SciPy linalg.eigs用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.linalg.eigs 的用法。

用法:

scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)#

求方阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

解决 A @ x[i] = w[i] * x[i] ，即 w[i] 特征值与相应特征向量 x[i] 的标准特征值问题。

如果指定了 M，则求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i] ，即 w[i] 特征值与相应特征向量 x[i] 的广义特征值问题

参数 ：：

A： ndarray，稀疏矩阵或LinearOperator

表示操作 A @ x 的数组、稀疏矩阵或 LinearOperator，其中 A 是实数或复数方阵。

k： 整数，可选

所需的特征值和特征向量的数量。 k 必须小于 N-1。不可能计算矩阵的所有特征向量。

M： ndarray，稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

表示广义特征值问题的操作 M@x 的数组、稀疏矩阵或 LinearOperator

A @ x = w * M @ x.

如果 A 是实数，则 M 必须表示一个实对称矩阵，如果 A 是复数，则 M 必须表示一个复数 Hermitian 矩阵。为获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。另外：

If sigma is None, M is positive definite

If sigma is specified, M is positive semi-definite

如果 sigma 为 None，则 eigs 需要一个运算符来计算线性方程 M @ x = b 的解。这是通过对显式矩阵 M 的(稀疏)LU 分解或通过对一般线性算子的迭代求解器在内部完成的。或者，用户可以提供矩阵或运算符 Minv，它给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b 。

sigma： 实数或复数，可选

使用 shift-invert 模式查找 sigma 附近的特征值。这需要一个运算符来计算线性系统 [A - sigma * M] @ x = b 的解，其中 M 是单位矩阵(如果未指定)。这是通过显式矩阵 A 和 M 的(稀疏)LU 分解在内部计算的，或者如果 A 或 M 是一般线性运算符，则通过迭代求解器进行内部计算。或者，用户可以提供矩阵或运算符 OPinv，它给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b 。对于实数矩阵 A，shift-invert 可以在虚数模式或实数模式下完成，由参数 OPpart(‘r’ 或 ‘i’)指定。请注意，当指定 sigma 时，关键字 ‘which’(如下)指的是移位的特征值 w'[i]，其中：

If A is real and OPpart == ‘r’ (default),

w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].

If A is real and OPpart == ‘i’,

w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].

If A is complex, w'[i] = 1/(w[i]-sigma).

v0： ndarray，可选

迭代的起始向量。默认值：随机

ncv： 整数，可选

生成的 Lanczos 向量的数量数控车床必须大于k;建议ncv > 2*k.默认：min(n, max(2*k + 1, 20))

which： str, ['LM' | 'SM' | 'LR' | 'SR' | ‘李’ | ‘SI’]，可选

要找到哪些 k 个特征向量和特征值：

‘LM’ : largest magnitude

‘SM’ : smallest magnitude

‘LR’ : largest real part

‘SR’ : smallest real part

‘LI’ : largest imaginary part

‘SI’ : smallest imaginary part

当 sigma != None 时，‘which’ 指的是移位的特征值 w'[i](参见上文 ‘sigma’ 中的讨论)。 ARPACK 通常比小值更擅长查找大值。如果需要小特征值，请考虑使用shift-invert 模式以获得更好的性能。

maxiter： 整数，可选

允许的最大 Arnoldi 更新迭代次数默认值：n*10

tol： 浮点数，可选

特征值的相对精度(停止标准) 默认值 0 表示机器精度。

return_eigenvectors： 布尔型，可选

除了特征值之外，还返回特征向量 (True)

Minv： ndarray，稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

见上文 M 中的注释。

OPinv： ndarray，稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

请参见上文 sigma 中的注释。

OPpart： {‘r’ 或 ‘i’}，可选

请参阅上面的 sigma 中的注释

返回 ：：

w： ndarray

k 个特征值的数组。

v： ndarray

一个数组k特征向量。v[:, i]是对应于特征值 w[i] 的特征向量。

抛出 ：：

ArpackNoConvergence

当未获得要求的收敛时。当前收敛的特征值和特征向量可以在异常对象的eigenvalues和eigenvectors属性中找到。

注意：

此函数是 ARPACK [1] SNEUPD、DNEUPD、CNEUPD、ZNEUPD 的包装器，这些函数使用隐式重启 Arnoldi 方法来查找特征值和特征向量 [2]。

参考：

[1]

ARPACK 软件，https://github.com/opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq、D. C. Sorensen 和 C. Yang，ARPACK 用户指南：通过隐式重启 Arnoldi 方法解决大规模特征值问题。暹罗，宾夕法尼亚州费城，1998 年。

例子：

求单位矩阵的 6 个特征向量：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)