Python SciPy linalg.pinv用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.linalg.pinv 的用法。

用法:

scipy.linalg.pinv(a, *, atol=None, rtol=None, return_rank=False, check_finite=True, cond=<object object>, rcond=<object object>)#

计算矩阵的 (Moore-Penrose) pseudo-inverse。

在经济模式下使用其singular-value 分解U @ S @ V 计算矩阵的广义逆，并仅选取与显著奇异值相关联的列/行。

如果 s 是 a 的最大奇异值，则 cut-off 值的重要性由 atol + rtol * s 确定。低于该值的任何奇异值都被假定为无关紧要。

参数 ：：

a： (M, N) 数组

矩阵为pseudo-inverted。

atol： 浮点数，可选

绝对阈值项，默认值为 0。

rtol： 浮点数，可选

相对阈值项，默认值为 max(M, N) * eps 其中 eps 是 a 数据类型的机器精度值。

return_rank： 布尔型，可选

如果为 True，则返回矩阵的有效秩。

check_finite： 布尔型，可选

是否检查输入矩阵是否仅包含有限数。禁用可能会提高性能，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题(崩溃、非终止)。

cond, rcond： 浮点数，可选

在旧版本中，这些值旨在用作 atol 和 rtol=0 。如果两者都给出了rcond，则覆盖了cond，因此代码不正确。因此，强烈建议不要使用这些，而是建议使用上述公差。事实上，如果提供的话，atol、rtol 优先于这些关键字。

返回 ：：

B： (N, M) ndarray

矩阵a的pseudo-inverse。

rank： int

矩阵的有效秩。如果return_rank 为真，则返回。

抛出 ：：

LinAlgError

如果 SVD 计算不收敛。

注意：

如果A 可逆，则Moore-Penrose 伪逆正好是A 的逆[1]。如果 A 不可逆，则 Moore-Penrose 伪逆计算 Ax = b 的 x 解，从而最小化 ||Ax - b|| [1]。

参考：

[1] (1,2,3)

彭罗斯，R.(1956)。关于线性矩阵方程的最佳近似解。剑桥哲学会数学会刊，52(1), 17-19。号码：10.1017/S0305004100030929

例子：

给定一个 m x n 矩阵 A 和一个 n x m 矩阵 B，四个 Moore-Penrose 条件是：

1. ABA = A ( B 是 A 的广义逆)，

2. BAB = B ( A 是 B 的广义逆)，

3. (AB)* = AB(AB 是埃尔米特式)，

4. (BA)* = BA(BA 是埃尔米特式)[1]。

这里，A*表示共轭转置。 Moore-Penrose 伪逆是唯一的 B，它满足所有这四个条件并且对于任何 A 都存在。请注意，与标准逆矩阵不同，A 不必是方阵或具有线性独立的列/行。

例如，我们可以计算随机非方阵的Moore-Penrose伪逆并验证它是否满足四个条件。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> A = rng.standard_normal((9, 6))
>>> B = linalg.pinv(A)
>>> np.allclose(A @ B @ A, A)  # Condition 1
True
>>> np.allclose(B @ A @ B, B)  # Condition 2
True
>>> np.allclose((A @ B).conj().T, A @ B)  # Condition 3
True
>>> np.allclose((B @ A).conj().T, B @ A)  # Condition 4
True