Python SciPy linalg.pinv用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.linalg.pinv 的用法。

用法:

scipy.linalg.pinv(a, *, atol=None, rtol=None, return_rank=False, check_finite=True, cond=<object object>, rcond=<object object>)#

計算矩陣的 (Moore-Penrose) pseudo-inverse。

在經濟模式下使用其singular-value 分解U @ S @ V 計算矩陣的廣義逆，並僅選取與顯著奇異值相關聯的列/行。

如果 s 是 a 的最大奇異值，則 cut-off 值的重要性由 atol + rtol * s 確定。低於該值的任何奇異值都被假定為無關緊要。

參數 ：：

a： (M, N) 數組

矩陣為pseudo-inverted。

atol： 浮點數，可選

絕對閾值項，默認值為 0。

rtol： 浮點數，可選

相對閾值項，默認值為 max(M, N) * eps 其中 eps 是 a 數據類型的機器精度值。

return_rank： 布爾型，可選

如果為 True，則返回矩陣的有效秩。

check_finite： 布爾型，可選

是否檢查輸入矩陣是否僅包含有限數。禁用可能會提高性能，但如果輸入確實包含無窮大或 NaN，則可能會導致問題(崩潰、非終止)。

cond, rcond： 浮點數，可選

在舊版本中，這些值旨在用作 atol 和 rtol=0 。如果兩者都給出了rcond，則覆蓋了cond，因此代碼不正確。因此，強烈建議不要使用這些，而是建議使用上述公差。事實上，如果提供的話，atol、rtol 優先於這些關鍵字。

返回 ：：

B： (N, M) ndarray

矩陣a的pseudo-inverse。

rank： int

矩陣的有效秩。如果return_rank 為真，則返回。

拋出 ：：

LinAlgError

如果 SVD 計算不收斂。

注意：

如果A 可逆，則Moore-Penrose 偽逆正好是A 的逆[1]。如果 A 不可逆，則 Moore-Penrose 偽逆計算 Ax = b 的 x 解，從而最小化 ||Ax - b|| [1]。

參考：

[1] (1,2,3)

彭羅斯，R.(1956)。關於線性矩陣方程的最佳近似解。劍橋哲學會數學會刊，52(1), 17-19。號碼：10.1017/S0305004100030929

例子：

給定一個 m x n 矩陣 A 和一個 n x m 矩陣 B，四個 Moore-Penrose 條件是：

1. ABA = A ( B 是 A 的廣義逆)，

2. BAB = B ( A 是 B 的廣義逆)，

3. (AB)* = AB(AB 是埃爾米特式)，

4. (BA)* = BA(BA 是埃爾米特式)[1]。

這裏，A*表示共軛轉置。 Moore-Penrose 偽逆是唯一的 B，它滿足所有這四個條件並且對於任何 A 都存在。請注意，與標準逆矩陣不同，A 不必是方陣或具有線性獨立的列/行。

例如，我們可以計算隨機非方陣的Moore-Penrose偽逆並驗證它是否滿足四個條件。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> A = rng.standard_normal((9, 6))
>>> B = linalg.pinv(A)
>>> np.allclose(A @ B @ A, A)  # Condition 1
True
>>> np.allclose(B @ A @ B, B)  # Condition 2
True
>>> np.allclose((A @ B).conj().T, A @ B)  # Condition 3
True
>>> np.allclose((B @ A).conj().T, B @ A)  # Condition 4
True