Python SciPy interpolate.CubicSpline用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.interpolate.CubicSpline 的用法。

用法:

class  scipy.interpolate.CubicSpline(x, y, axis=0, bc_type='not-a-knot', extrapolate=None)#

三次样条数据插值器。

使用两次连续可导的分段三次多项式对数据进行插值 [1]。结果表示为 PPoly 实例，其中断点与给定数据匹配。

参数 ：：

x： 数组, 形状 (n,)

包含自变量值的一维数组。值必须是实数、有限且严格递增的。

y： array_like

包含因变量值的数组。它可以有任意数量的维度，但沿 axis 的长度(见下文)必须与 x 的长度匹配。值必须是有限的。

axis： 整数，可选

沿哪个轴y假设是变化的。这意味着对于x[i]对应的值为np.take(y, i, axis=axis).默认值为 0。

bc_type： 字符串或 2 元组，可选

边界条件类型。需要由边界条件给出的两个附加方程来确定每个段 [2] 上多项式的所有系数。

如果bc_type 是字符串，则指定的条件将应用于样条曲线的两端。可用条件为：

• ‘not-a-knot’(默认)：曲线末端的第一段和第二段是相同的多项式。当没有关于边界条件的信息时，这是一个很好的默认值。

• ‘periodic’：假设插值函数是周期性的x[-1] - x[0].的第一个和最后一个值y必须相同：y[0] == y[-1].这个边界条件将导致y'[0] == y'[-1]和y''[0] == y''[-1].

• ‘clamped’：曲线末端的一阶导数为零。假设一维y,bc_type=((1, 0.0), (1, 0.0))是相同的条件。

• ‘natural’：曲线末端的二阶导数为零。假设一维y,bc_type=((2, 0.0), (2, 0.0))是相同的条件。

如果bc_type 是一个二元组，则第一个和第二个值将分别应用于曲线的起点和终点。元组值可以是前面提到的字符串之一(‘periodic’ 除外)或允许在曲线末端指定任意导数的元组(顺序，deriv_values)：

• order：导数顺序，1 或 2。

• deriv_value: 数组 包含导数值，形状必须相同y, 不包括axis方面。例如，如果y是一维的，那么deriv_value必须是标量。如果y是 3-D，形状为 (n0, n1, n2) 且轴 = 2，则deriv_value必须是二维的并且具有 (n0, n1) 的形状。

extrapolate： {bool，‘periodic’，无}，可选

如果是布尔值，则确定是根据第一个和最后一个间隔外推到越界点，还是返回 NaN。如果‘periodic’，使用周期性外推。如果 None (默认)，extrapolate 设置为 ‘periodic’ 用于 bc_type='periodic'，否则设置为 True。

注意：

参数bc_type和extrapolate独立工作，即前者仅控制样条的构造，而后者仅控制评估。

当边界条件为“not-a-knot”且 n = 2 时，将其替换为一阶导数等于线性插值斜率的条件。当两个边界条件均为“not-a-knot”且 n = 3 时，求解作为通过给定点的抛物线寻求。

当 'not-a-knot' 边界条件应用于两端时，生成的样条曲线将与 splrep (使用 s=0 )和 InterpolatedUnivariateSpline 返回的样条曲线相同，但这两种方法使用 B-spline 基础中的表示.

参考：

[1]

Cubic Spline Interpolation 在维基学院。

[2]

Carl de Boor，“样条曲线实用指南”，Springer-Verlag，1978 年。

例子：

在此示例中，三次样条用于内插采样的正弦曲线。您可以看到样条连续性属性适用于一阶和二阶导数，仅违反三阶导数。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.interpolate import CubicSpline
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(10)
>>> y = np.sin(x)
>>> cs = CubicSpline(x, y)
>>> xs = np.arange(-0.5, 9.6, 0.1)
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4))
>>> ax.plot(x, y, 'o', label='data')
>>> ax.plot(xs, np.sin(xs), label='true')
>>> ax.plot(xs, cs(xs), label="S")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 1), label="S'")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 2), label="S''")
>>> ax.plot(xs, cs(xs, 3), label="S'''")
>>> ax.set_xlim(-0.5, 9.5)
>>> ax.legend(loc='lower left', ncol=2)
>>> plt.show()

在第二个例子中，单位圆是用样条插值的。使用周期性边界条件。您可以看到周期点 (1, 0) 处的一阶导数值 ds/dx=0, ds/dy=1 被正确计算。请注意，圆不能用三次样条精确表示。为了提高精度，需要更多的断点。

>>> theta = 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 5)
>>> y = np.c_[np.cos(theta), np.sin(theta)]
>>> cs = CubicSpline(theta, y, bc_type='periodic')
>>> print("ds/dx={:.1f} ds/dy={:.1f}".format(cs(0, 1)[0], cs(0, 1)[1]))
ds/dx=0.0 ds/dy=1.0
>>> xs = 2 * np.pi * np.linspace(0, 1, 100)
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(6.5, 4))
>>> ax.plot(y[:, 0], y[:, 1], 'o', label='data')
>>> ax.plot(np.cos(xs), np.sin(xs), label='true')
>>> ax.plot(cs(xs)[:, 0], cs(xs)[:, 1], label='spline')
>>> ax.axes.set_aspect('equal')
>>> ax.legend(loc='center')
>>> plt.show()

第三个例子是多项式 y = x**3 在区间 0 <= x<= 1 上的插值。三次样条可以精确地表示这个函数。为了实现这一点，我们需要在区间的端点处指定值和一阶导数。请注意，y' = 3 * x**2，因此 y'(0) = 0 和 y'(1) = 3。

>>> cs = CubicSpline([0, 1], [0, 1], bc_type=((1, 0), (1, 3)))
>>> x = np.linspace(0, 1)
>>> np.allclose(x**3, cs(x))
True

属性 ：：

x： ndarray，形状(n，)

断点。传递给构造函数的相同x。

c： ndarray，形状(4，n-1，...)

每个段上多项式的系数。尾随尺寸与y, 不包括axis.例如，如果y是一维，那么c[k, i]是一个系数(x-x[i])**(3-k)在之间的段x[i]和x[i+1].

axis： int

插值轴。传递给构造函数的同一轴。