Python SciPy stats.levy_stable用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.stats.levy_stable 的用法。

用法:

scipy.stats.levy_stable = <scipy.stats._levy_stable.levy_stable_gen object>#

Levy-stable 連續隨機變量。

作為 rv_continuous 類的實例，levy_stable 對象從它繼承了一組通用方法(完整列表見下文)，並用特定於此特定發行版的詳細信息來完成它們。

注意：

levy_stable 的分布具有特征函數：

\[\varphi(t, \alpha, \beta, c, \mu) = e^{it\mu -|ct|^{\alpha}(1-i\beta\operatorname{sign}(t)\Phi(\alpha, t))}\]

其中支持兩種不同的參數化。第一個 \(S_1\) ：

\[\begin{split}\Phi = \begin{cases} \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\ -{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1 \end{cases}\end{split}\]

第二個 \(S_0\) ：

\[\begin{split}\Phi = \begin{cases} -\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)(|ct|^{1-\alpha}-1) &\alpha \neq 1\\ -{\frac {2}{\pi }}\log |ct|&\alpha =1 \end{cases}\end{split}\]

levy_stable 的概率密度函數為：

\[f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \varphi(t)e^{-ixt}\,dt\]

其中 \(-\infty < t < \infty\) 。這個積分沒有已知的封閉形式。

levy_stable 概括了幾種分布。如果可能的話，應該使用它們。具體來說，當形狀參數采用下表中的值時，應使用相應的等效分布。

alpha	beta	相等的
1/2	-1	scipy.stats.levy_l
1/2	1	scipy.stats.levy
1	0	scipy.stats.cauchy
2	any	norm (與 scale=sqrt(2) )

默認情況下，對 pdf 的評估使用 Nolan 的分段積分方法和 Zolotarev \(M\) 參數化。還可以選擇使用特征函數的標準參數化的直接數值積分或通過特征函數的 FFT 進行評估。

可以通過將類變量 levy_stable.pdf_default_method 設置為 Nolan 方法的 ‘piecewise’、直接數值積分的 ‘dni’ 或基於 FFT 的方法的“fft-simpson”之一來更改默認方法。為了向後兼容，方法‘best’和‘zolotarev’相當於‘piecewise’，方法‘quadrature’相當於‘dni’。

可以通過將類變量levy_stable.parameterization 設置為“S0”或“S1”來更改參數化。默認值為“S1”。

為了提高分段和直接數值積分的性能，可以指定levy_stable.quad_eps(默認為 1.2e-14)。這既用作直接數值積分的絕對和相對正交公差，也用作分段方法的相對正交公差。還可以指定levy_stable.piecewise_x_tol_near_zeta(默認為 0.005)來表示 x 在被認為與 x [NO] 相同之前與 zeta 的接近程度。確切的檢查是 abs(x0 - zeta) < piecewise_x_tol_near_zeta*alpha**(1/alpha) 。還可以指定levy_stable.piecewise_alpha_tol_near_one(默認為 0.005)來表示 alpha 在被認為等於 1 之前與 1 的接近程度。

為了提高 FFT 計算的準確性，可以指定 levy_stable.pdf_fft_grid_spacing(默認為 0.001)和 pdf_fft_n_points_two_power(默認為 None，這意味著計算的值足以覆蓋輸入範圍)。

通過設置 pdf_fft_interpolation_degree(默認為 3)為樣條順序和 pdf_fft_interpolation_level 來確定在逼近特征函數時在 Newton-Cotes 公式中使用的點數，可以進一步控製 FFT 計算(被認為是實驗性的)。

默認情況下，cdf 的評估使用 Nolan 的分段積分方法和 Zolatarev \(S_0\) 參數化。還可以選擇通過積分通過 FFT 方法計算的 pdf 的插值樣條進行評估。影響 FFT 計算的設置與 pdf 計算相同。可以通過將 levy_stable.cdf_default_method 設置為 ‘piecewise’ 或“fft-simpson”來更改默認 cdf 方法。對於 cdf 計算，Zolatarev 方法的準確性更高，因此默認情況下禁用 FFT。

擬合估計使用[MC]中的分位數估計方法。擬合方法中參數的 MLE 估計最初使用此分位數估計。請注意，如果使用 FFT 進行 pdf 計算，MLE 並不總是收斂；如果 alpha <= 1，FFT 方法不能給出好的近似值，就會出現這種情況。

如果未設置有效的默認方法，則屬性 levy_stable.pdf_fft_min_points_threshold 的任何非缺失值都會將 levy_stable.pdf_default_method 設置為“fft-simpson”。

警告

對於 pdf 計算，FFT 計算被認為是實驗性的。

對於 cdf 計算，FFT 計算被認為是實驗性的。改用 Zolatarev 的方法(默認)。

上麵的概率密度以“standardized” 形式定義。要移動和/或縮放分布，請使用loc 和scale 參數。通常， levy_stable.pdf(x, alpha, beta, loc, scale) 與 levy_stable.pdf(y, alpha, beta) / scale 和 y = (x - loc) / scale 完全相同，除非在 S1 參數化中 alpha == 1 。在這種情況下， levy_stable.pdf(x, alpha, beta, loc, scale) 等同於 levy_stable.pdf(y, alpha, beta) / scale 和 y = (x - loc - 2 * beta * scale * np.log(scale) / np.pi) / scale 。更多信息請參見[NO2]定義1.8。請注意，移動分布的位置不會使其成為“noncentral”分布。

參考：

[MC]

McCulloch, J., 1986。穩定分布參數的簡單一致估計。統計通信 - 模擬和計算 15, 11091136。

[WZ]

Wang、Li 和 Zhang，Ji-Hong，2008 年。基於 Simpson 規則的 FFT 方法計算穩定分布的密度。

[NO]

Nolan, J., 1997。穩定密度和分布函數的數值計算。

[二氧化氮]

Nolan, J.，2018。穩定分布：重尾數據模型。

[HO]

Hopcraft, K. I., Jakeman, E., Tanner, R. M. J., 1999。具有波動步數和多尺度行為的 Lévy 隨機遊走。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import levy_stable
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots(1, 1)

計算前四個時刻：

>>> alpha, beta = 1.8, -0.5
>>> mean, var, skew, kurt = levy_stable.stats(alpha, beta, moments='mvsk')

顯示概率密度函數(pdf)：

>>> x = np.linspace(levy_stable.ppf(0.01, alpha, beta),
...                 levy_stable.ppf(0.99, alpha, beta), 100)
>>> ax.plot(x, levy_stable.pdf(x, alpha, beta),
...        'r-', lw=5, alpha=0.6, label='levy_stable pdf')

或者，可以調用分布對象(作為函數)來固定形狀、位置和比例參數。這將返回一個 “frozen” RV 對象，其中包含固定的給定參數。

凍結分布並顯示凍結的 pdf ：

>>> rv = levy_stable(alpha, beta)
>>> ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf')

檢查 cdf 和 ppf 的準確性：

>>> vals = levy_stable.ppf([0.001, 0.5, 0.999], alpha, beta)
>>> np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], levy_stable.cdf(vals, alpha, beta))
True

生成隨機數：

>>> r = levy_stable.rvs(alpha, beta, size=1000)

並比較直方圖：

>>> ax.hist(r, density=True, bins='auto', histtype='stepfilled', alpha=0.2)
>>> ax.set_xlim([x[0], x[-1]])
>>> ax.legend(loc='best', frameon=False)
>>> plt.show()