Python SciPy special.iv用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.iv 的用法。

用法:

scipy.special.iv(v, z, out=None) = <ufunc 'iv'>#

第一類實階修正貝塞爾函數。

參數 ：：

v： array_like

命令。如果 z 為實數類型且為負數，則 v 必須為整數值。

z： 數組 浮點數或複數

爭論。

out： ndarray，可選

函數值的可選輸出數組

返回 ：：

標量或 ndarray

修正貝塞爾函數的值。

注意：

真的z和\(v \in [-50, 50]\)，采用Temme法進行評估[1]。對於較大的階數，應用均勻漸近展開。

對於複雜的z和積極的v, AMOS[2] 茲貝西例程被調用。它使用一個功率係列的小z, 大的漸近展開絕對(z)，由 Wronskian 和 Neumann 級數歸一化的米勒算法用於中間幅度，以及均勻漸近展開\(I_v(z)\)和\(J_v(z)\)對於大訂單。向後遞歸用於在必要時生成序列或減少訂單。

上麵的計算是在右半平麵上完成的，並通過公式繼續到左半平麵，

\[I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\]

(當 z 的實部為正時有效)。對於負 v，公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

被使用，其中\(K_v(z)\)是修改後的第二類貝塞爾函數，使用 AMOS 例程進行評估茲別斯克.

參考：

[1]

Temme，《計算物理學雜誌》，第 21 卷，343 (1976)

[2]

Donald E. Amos，“AMOS，用於複雜參數和非負階貝塞爾函數的便攜式軟件包”，http://netlib.org/amos/

例子：

在某一點評估 0 階函數。

>>> from scipy.special import iv
>>> iv(0, 1.)
1.2660658777520084

在某一點評估不同階次的函數。

>>> iv(0, 1.), iv(1, 1.), iv(1.5, 1.)
(1.2660658777520084, 0.565159103992485, 0.2935253263474798)

通過提供一個列表或 NumPy 數組作為 v 參數的參數，可以在一次調用中執行不同順序的評估：

>>> iv([0, 1, 1.5], 1.)
array([1.26606588, 0.5651591 , 0.29352533])

通過提供 z 數組，在多個點評估函數的 0 階。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> iv(0, points)
array([2.2795853 , 1.        , 4.88079259])

如果 z 是一個數組，並且在一次調用中計算不同的階數，則階數參數 v 必須可廣播為正確的形狀。要計算一維數組的階數 0 和 1：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> iv(orders, points)
array([[ 2.2795853 ,  1.        ,  4.88079259],
       [-1.59063685,  0.        ,  3.95337022]])

繪製從 -5 到 5 的 0 到 3 階函數。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, iv(i, x), label=f'$I_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()