Python SciPy linalg.solve_continuous_are用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.linalg.solve_continuous_are 的用法。

用法:

scipy.linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r, e=None, s=None, balanced=True)#

求解continuous-time 代數 Riccati 方程 (CARE)。

CARE 定義為

\[X A + A^H X - X B R^{-1} B^H X + Q = 0\]

存在解決方案的限製是：

• All eigenvalues of \(A\) on the right half plane, should be controllable.

• The associated hamiltonian pencil (See Notes), should have eigenvalues sufficiently away from the imaginary axis.

此外，如果 e 或 s 不完全是 None ，則 CARE 的廣義版本

\[E^HXA + A^HXE - (E^HXB + S) R^{-1} (B^HXE + S^H) + Q = 0\]

解決了。省略時，假設 e 是恒等式，假設 s 是零矩陣，其大小分別與 a 和 b 兼容。

參數 ：：

a： (M, M) 數組

方陣

b： (M, N) 數組

輸入

q： (M, M) 數組

輸入

r： (N, N) 數組

非奇異方陣

e： (M, M) 數組，可選

非奇異方陣

s： (M, N) 類數組，可選

輸入

balanced： 布爾型，可選

指示是否對數據執行平衡步驟的布爾值。默認設置為 True。

返回 ：：

x： (M, M) ndarray

continuous-time 代數 Riccati 方程的解。

拋出 ：：

LinAlgError

對於無法隔離鉛筆的穩定子空間的情況。有關詳細信息，請參閱注釋部分和引用。

注意：

該方程通過形成擴展的哈密頓矩陣鉛筆來求解，如 [1] 中所述，\(H - \lambda J\) 由塊矩陣給出

[ A    0    B ]             [ E   0    0 ]
[-Q  -A^H  -S ] - \lambda * [ 0  E^H   0 ]
[ S^H B^H   R ]             [ 0   0    0 ]

並使用QZ分解方法。

在該算法中，失敗條件與產品 \(U_2 U_1^{-1}\) 的對稱性和 \(U_1\) 的條件編號相關聯。在這裏，\(U\) 是 2m-by-m 矩陣，它包含跨越 2-m 行的穩定子空間的特征向量，並劃分為兩個 m-row 矩陣。有關詳細信息，請參閱 [1] 和 [2]。

為了提高 QZ 分解的準確性，鉛筆經過一個平衡步驟，其中 \(H\) 和 \(J\) 條目的絕對值之和(在去除總和的對角線條目之後)按照 [3 ]。

參考：

[1] (1,2)

P. van Dooren，“求解 Riccati 方程的廣義特征值方法。”，SIAM 科學與統計計算雜誌，第 2(2) 卷，DOI:10.1137/0902010

[2]

A.J. Laub，“求解代數 Riccati 方程的 Schur 方法。”，麻省理工學院。信息和決策係統實驗室。 LIDS-R ; 859. 在線可用：http://hdl.handle.net/1721.1/1301

[3]

P. Benner，“哈密頓矩陣的辛平衡”，2001，SIAM J. Sci。計算機, 2001, Vol.22(5), DOI:10.1137/S1064827500367993

例子：

給定 a、b、q 和 r 求解 x：

>>> import numpy as np
>>> from scipy import linalg
>>> a = np.array([[4, 3], [-4.5, -3.5]])
>>> b = np.array([[1], [-1]])
>>> q = np.array([[9, 6], [6, 4.]])
>>> r = 1
>>> x = linalg.solve_continuous_are(a, b, q, r)
>>> x
array([[ 21.72792206,  14.48528137],
       [ 14.48528137,   9.65685425]])
>>> np.allclose(a.T.dot(x) + x.dot(a)-x.dot(b).dot(b.T).dot(x), -q)
True