R TDist 学生 t 分布

说明

具有 df 自由度的 t 分布的密度、分布函数、分位数函数和随机生成(以及可选的非中心参数 ncp )。

用法

dt(x, df, ncp, log = FALSE)
pt(q, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qt(p, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rt(n, df, ncp)

参数

细节

具有 df = \nu 自由度的 t 分布具有密度

对于所有真实的x。它具有平均值 0 (对于 \nu > 1 )和方差 \frac{\nu}{\nu-2} (对于 \nu > 2 )。

带有参数(\nu, \delta)和= (df, ncp)的一般非中心t被定义为T_{\nu}(\delta) := (U + \delta)/\sqrt{V/\nu}的分布，其中U和V是独立随机变量，U \sim {\cal N}(0,1)和V \sim \chi^2_\nu(参见Chisquare)。

最常用的应用是功率计算t-测试：
让T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}其中\bar{X}是个mean和S样本标准差(sd) 的X_1, X_2, \dots, X_n哪些是 i.i.d.{\cal N}(\mu, \sigma^2)然后T作为非中心分布t和df{} = n-1自由度和n在-c中心性p参数ncp{} = (\mu - \mu_0) \sqrt{n}/\sigma.

t分布的累积分布函数(cdf)，F_{\nu}满足F_{\nu}(t) = 1 - I_x(\nu/2, 1/2) = I_{1-x}(1/2, \nu/2),其中x := \nu/(\nu + t^2)， 和I_x(a,b)是不完全 beta 函数，在R这是pbeta(x, a,b).

值

dt 给出密度，pt 给出分布函数，qt 给出分位数函数，rt 生成随机偏差。

无效参数将导致返回值 NaN ，并带有警告。

结果的长度由 rt 的 n 确定，并且是其他函数的数值参数长度的最大值。

除 n 之外的数字参数将被回收到结果的长度。仅使用逻辑参数的第一个元素。

注意

提供 ncp = 0 使用非中心分布的算法，这与省略 ncp 时使用的算法不同。这是为了在 ncp 值非常接近零的极端情况下提供一致的行为。

非零 ncp 的代码主要用于 ncp 的中等值：对于大值，它不会非常准确，尤其是在尾部。

例子

require(graphics)

1 - pt(1:5, df = 1)
qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000))

tt <- seq(0, 10, length.out = 21)
ncp <- seq(0, 6, length.out = 31)
ptn <- outer(tt, ncp, function(t, d) pt(t, df = 3, ncp = d))
t.tit <- "Non-central t - Probabilities"
image(tt, ncp, ptn, zlim = c(0,1), main = t.tit)
persp(tt, ncp, ptn, zlim = 0:1, r = 2, phi = 20, theta = 200, main = t.tit,
      xlab = "t", ylab = "non-centrality parameter",
      zlab = "Pr(T <= t)")

plot(function(x) dt(x, df = 3, ncp = 2), -3, 11, ylim = c(0, 0.32),
     main = "Non-central t - Density", yaxs = "i")

来源

中心 dt 是通过 Catherine Loader 提供的精确公式计算的(请参阅 dbinom 中的引用)。

对于 dt 的非中心情况，Claus Ekstrøm 基于与累积分布的关系(对于 x \neq 0 )贡献了 C 代码。

对于 pt 的中心情况，尾部的正常近似，否则通过 pbeta 。

对于基于 C 翻译的 pt 的非中心情况

Lenth，R.V.(1989)。算法 AS 243 — 非中心 t 分布的累积分布函数，应用统计 38, 185-189。

这仅计算下尾部，因此上尾部会受到取消的影响，并且当这可能很重要时会发出警告。

对于中心qt，C 语言翻译

Hill, G. W. (1970) 算法 396：学生的 t-quantiles。 ACM 通讯，13(10), 619-620。

改变以考虑到

Hill, G. W. (1981) 关于算法 396 的评论，ACM Transactions on Mathematical Software，7, 250-1。

非中心情况是通过反转完成的。

参考

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole. (Except non-central versions.)

Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, volume 2, chapters 28 and 31. Wiley, New York.

也可以看看

Distributions 适用于其他标准发行版，包括 df 适用于 F 发行版。