R TDist 學生 t 分布

說明

具有 df 自由度的 t 分布的密度、分布函數、分位數函數和隨機生成(以及可選的非中心參數 ncp )。

用法

dt(x, df, ncp, log = FALSE)
pt(q, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qt(p, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rt(n, df, ncp)

參數

細節

具有 df = \nu 自由度的 t 分布具有密度

對於所有真實的x。它具有平均值 0 (對於 \nu > 1 )和方差 \frac{\nu}{\nu-2} (對於 \nu > 2 )。

帶有參數(\nu, \delta)和= (df, ncp)的一般非中心t被定義為T_{\nu}(\delta) := (U + \delta)/\sqrt{V/\nu}的分布，其中U和V是獨立隨機變量，U \sim {\cal N}(0,1)和V \sim \chi^2_\nu(參見Chisquare)。

最常用的應用是功率計算t-測試：
讓T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}其中\bar{X}是個mean和S樣本標準差(sd) 的X_1, X_2, \dots, X_n哪些是 i.i.d.{\cal N}(\mu, \sigma^2)然後T作為非中心分布t和df{} = n-1自由度和n在-c中心性p參數ncp{} = (\mu - \mu_0) \sqrt{n}/\sigma.

t分布的累積分布函數(cdf)，F_{\nu}滿足F_{\nu}(t) = 1 - I_x(\nu/2, 1/2) = I_{1-x}(1/2, \nu/2),其中x := \nu/(\nu + t^2)， 和I_x(a,b)是不完全 beta 函數，在R這是pbeta(x, a,b).

值

dt 給出密度，pt 給出分布函數，qt 給出分位數函數，rt 生成隨機偏差。

無效參數將導致返回值 NaN ，並帶有警告。

結果的長度由 rt 的 n 確定，並且是其他函數的數值參數長度的最大值。

除 n 之外的數字參數將被回收到結果的長度。僅使用邏輯參數的第一個元素。

注意

提供 ncp = 0 使用非中心分布的算法，這與省略 ncp 時使用的算法不同。這是為了在 ncp 值非常接近零的極端情況下提供一致的行為。

非零 ncp 的代碼主要用於 ncp 的中等值：對於大值，它不會非常準確，尤其是在尾部。

例子

require(graphics)

1 - pt(1:5, df = 1)
qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000))

tt <- seq(0, 10, length.out = 21)
ncp <- seq(0, 6, length.out = 31)
ptn <- outer(tt, ncp, function(t, d) pt(t, df = 3, ncp = d))
t.tit <- "Non-central t - Probabilities"
image(tt, ncp, ptn, zlim = c(0,1), main = t.tit)
persp(tt, ncp, ptn, zlim = 0:1, r = 2, phi = 20, theta = 200, main = t.tit,
      xlab = "t", ylab = "non-centrality parameter",
      zlab = "Pr(T <= t)")

plot(function(x) dt(x, df = 3, ncp = 2), -3, 11, ylim = c(0, 0.32),
     main = "Non-central t - Density", yaxs = "i")

來源

中心 dt 是通過 Catherine Loader 提供的精確公式計算的(請參閱 dbinom 中的引用)。

對於 dt 的非中心情況，Claus Ekstrøm 基於與累積分布的關係(對於 x \neq 0 )貢獻了 C 代碼。

對於 pt 的中心情況，尾部的正常近似，否則通過 pbeta 。

對於基於 C 翻譯的 pt 的非中心情況

Lenth，R.V.(1989)。算法 AS 243 — 非中心 t 分布的累積分布函數，應用統計 38, 185-189。

這僅計算下尾部，因此上尾部會受到取消的影響，並且當這可能很重要時會發出警告。

對於中心qt，C 語言翻譯

Hill, G. W. (1970) 算法 396：學生的 t-quantiles。 ACM 通訊，13(10), 619-620。

改變以考慮到

Hill, G. W. (1981) 關於算法 396 的評論，ACM Transactions on Mathematical Software，7, 250-1。

非中心情況是通過反轉完成的。

參考

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole. (Except non-central versions.)

Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, volume 2, chapters 28 and 31. Wiley, New York.

也可以看看

Distributions 適用於其他標準發行版，包括 df 適用於 F 發行版。