R Chisquare (非中心)卡方分布

說明

具有 df 自由度和可選非中心參數 ncp 的卡方 (\chi^2 ) 分布的密度、分布函數、分位數函數和隨機生成。

用法

dchisq(x, df, ncp = 0, log = FALSE)
pchisq(q, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qchisq(p, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rchisq(n, df, ncp = 0)

參數

細節

具有 df = n \ge 0 自由度的卡方分布具有密度

為了x > 0，其中f_0(x) := \lim_{n \to 0} f_n(x) = \delta_0(x)，零質量點，不是一個本身的密度函數，而是一個“\delta分配”。
均值和方差為n和2n.

具有 df = n 自由度和非中心參數 ncp = \lambda 的非中心卡方分布具有密度

為了x \ge 0。對於整數n，這是平方和的分布n每個正態分布的方差為一，\lambda是正常平均值的平方和；更遠，
E(X) = n + \lambda,Var(X) = 2(n + 2*\lambda)， 和E((X - E(X))^3) = 8(n + 3*\lambda).

請注意，自由度 df = n 可以是非整數，也可以是與非中心性 \lambda > 0 相關的 n = 0 ，請參閱 Johnson 等人(1995 年，第 29 章)。在這種(非中心，零 df)情況下，分布是 x = 0 處的點質量(大小為 pchisq(0, df=0, ncp=ncp) )和連續部分的混合，並且 dchisq() 不是相對於該混合測量的密度，而是而是 df \to 0 的密度限製。

請注意，大於約 1e5(甚至更小)的 ncp 值可能會給出不準確的結果，並針對 pchisq 和 qchisq 發出許多警告。

值

dchisq 給出密度，pchisq 給出分布函數，qchisq 給出分位數函數，rchisq 生成隨機偏差。

無效參數將導致返回值 NaN ，並帶有警告。

結果的長度由 rchisq 的 n 確定，並且是其他函數的數值參數長度的最大值。

除 n 之外的數字參數將被回收到結果的長度。僅使用邏輯參數的第一個元素。

注意

提供 ncp = 0 使用非中心分布的算法，這與省略 ncp 時使用的算法不同。這是為了在 ncp 值非常接近零的極端情況下提供一致的行為。

非零 ncp 的代碼主要用於 ncp 的中等值：對於大值，它不會非常準確，尤其是在尾部。

例子

require(graphics)

dchisq(1, df = 1:3)
pchisq(1, df =  3)
pchisq(1, df =  3, ncp = 0:4)  # includes the above

x <- 1:10
## Chi-squared(df = 2) is a special exponential distribution
all.equal(dchisq(x, df = 2), dexp(x, 1/2))
all.equal(pchisq(x, df = 2), pexp(x, 1/2))

## non-central RNG -- df = 0 with ncp > 0:  Z0 has point mass at 0!
Z0 <- rchisq(100, df = 0, ncp = 2.)
graphics::stem(Z0)

## visual testing
## do P-P plots for 1000 points at various degrees of freedom
L <- 1.2; n <- 1000; pp <- ppoints(n)
op <- par(mfrow = c(3,3), mar = c(3,3,1,1)+.1, mgp = c(1.5,.6,0),
          oma = c(0,0,3,0))
for(df in 2^(4*rnorm(9))) {
  plot(pp, sort(pchisq(rr <- rchisq(n, df = df, ncp = L), df = df, ncp = L)),
       ylab = "pchisq(rchisq(.),.)", pch = ".")
  mtext(paste("df = ", formatC(df, digits = 4)), line =  -2, adj = 0.05)
  abline(0, 1, col = 2)
}
mtext(expression("P-P plots : Noncentral  "*
                 chi^2 *"(n=1000, df=X, ncp= 1.2)"),
      cex = 1.5, font = 2, outer = TRUE)
par(op)

## "analytical" test
lam <- seq(0, 100, by = .25)
p00 <- pchisq(0,      df = 0, ncp = lam)
p.0 <- pchisq(1e-300, df = 0, ncp = lam)
stopifnot(all.equal(p00, exp(-lam/2)),
          all.equal(p.0, exp(-lam/2)))

來源

中心情況是通過伽瑪分布計算的。

非中心 dchisq 和 rchisq 被計算為中心 chi-squares 的泊鬆混合(Johnson 等人，1995 年，第 436 頁)。

非中心 pchisq 用於根據中心 chi-squares 的泊鬆混合計算得出的 ncp < 80，對於較大的 ncp，則通過 C 翻譯

Ding, C. G. (1992) 算法 AS275：計算非中心卡方分布函數。應用統計學家，41 478-482。

它僅計算下尾部(因此上尾部會受到取消的影響，並且當這可能很重要時會發出警告)。

非中心 qchisq 基於 pchisq 的反轉。

參考

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, chapters 18 (volume 1) and 29 (volume 2). Wiley, New York.

也可以看看

Distributions 適用於其他標準發行版。

具有 n 自由度的中心卡方分布與具有 shape \alpha = n/2 和 scale \sigma = 2 的伽瑪分布相同。因此，請參閱 dgamma 了解 Gamma 分布。

d.f. 為 2 的中心卡方分布與比率為 1/2 的指數分布相同： \chi^2_2 = Exp(1/2) ，請參閱dexp 。