R Chisquare (非中心)卡方分布

说明

具有 df 自由度和可选非中心参数 ncp 的卡方 (\chi^2 ) 分布的密度、分布函数、分位数函数和随机生成。

用法

dchisq(x, df, ncp = 0, log = FALSE)
pchisq(q, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qchisq(p, df, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rchisq(n, df, ncp = 0)

参数

细节

具有 df = n \ge 0 自由度的卡方分布具有密度

为了x > 0，其中f_0(x) := \lim_{n \to 0} f_n(x) = \delta_0(x)，零质量点，不是一个本身的密度函数，而是一个“\delta分配”。
均值和方差为n和2n.

具有 df = n 自由度和非中心参数 ncp = \lambda 的非中心卡方分布具有密度

为了x \ge 0。对于整数n，这是平方和的分布n每个正态分布的方差为一，\lambda是正常平均值的平方和；更远，
E(X) = n + \lambda,Var(X) = 2(n + 2*\lambda)， 和E((X - E(X))^3) = 8(n + 3*\lambda).

请注意，自由度 df = n 可以是非整数，也可以是与非中心性 \lambda > 0 相关的 n = 0 ，请参阅 Johnson 等人(1995 年，第 29 章)。在这种(非中心，零 df)情况下，分布是 x = 0 处的点质量(大小为 pchisq(0, df=0, ncp=ncp) )和连续部分的混合，并且 dchisq() 不是相对于该混合测量的密度，而是而是 df \to 0 的密度限制。

请注意，大于约 1e5(甚至更小)的 ncp 值可能会给出不准确的结果，并针对 pchisq 和 qchisq 发出许多警告。

值

dchisq 给出密度，pchisq 给出分布函数，qchisq 给出分位数函数，rchisq 生成随机偏差。

无效参数将导致返回值 NaN ，并带有警告。

结果的长度由 rchisq 的 n 确定，并且是其他函数的数值参数长度的最大值。

除 n 之外的数字参数将被回收到结果的长度。仅使用逻辑参数的第一个元素。

注意

提供 ncp = 0 使用非中心分布的算法，这与省略 ncp 时使用的算法不同。这是为了在 ncp 值非常接近零的极端情况下提供一致的行为。

非零 ncp 的代码主要用于 ncp 的中等值：对于大值，它不会非常准确，尤其是在尾部。

例子

require(graphics)

dchisq(1, df = 1:3)
pchisq(1, df =  3)
pchisq(1, df =  3, ncp = 0:4)  # includes the above

x <- 1:10
## Chi-squared(df = 2) is a special exponential distribution
all.equal(dchisq(x, df = 2), dexp(x, 1/2))
all.equal(pchisq(x, df = 2), pexp(x, 1/2))

## non-central RNG -- df = 0 with ncp > 0:  Z0 has point mass at 0!
Z0 <- rchisq(100, df = 0, ncp = 2.)
graphics::stem(Z0)

## visual testing
## do P-P plots for 1000 points at various degrees of freedom
L <- 1.2; n <- 1000; pp <- ppoints(n)
op <- par(mfrow = c(3,3), mar = c(3,3,1,1)+.1, mgp = c(1.5,.6,0),
          oma = c(0,0,3,0))
for(df in 2^(4*rnorm(9))) {
  plot(pp, sort(pchisq(rr <- rchisq(n, df = df, ncp = L), df = df, ncp = L)),
       ylab = "pchisq(rchisq(.),.)", pch = ".")
  mtext(paste("df = ", formatC(df, digits = 4)), line =  -2, adj = 0.05)
  abline(0, 1, col = 2)
}
mtext(expression("P-P plots : Noncentral  "*
                 chi^2 *"(n=1000, df=X, ncp= 1.2)"),
      cex = 1.5, font = 2, outer = TRUE)
par(op)

## "analytical" test
lam <- seq(0, 100, by = .25)
p00 <- pchisq(0,      df = 0, ncp = lam)
p.0 <- pchisq(1e-300, df = 0, ncp = lam)
stopifnot(all.equal(p00, exp(-lam/2)),
          all.equal(p.0, exp(-lam/2)))

来源

中心情况是通过伽玛分布计算的。

非中心 dchisq 和 rchisq 被计算为中心 chi-squares 的泊松混合(Johnson 等人，1995 年，第 436 页)。

非中心 pchisq 用于根据中心 chi-squares 的泊松混合计算得出的 ncp < 80，对于较大的 ncp，则通过 C 翻译

Ding, C. G. (1992) 算法 AS275：计算非中心卡方分布函数。应用统计学家，41 478-482。

它仅计算下尾部(因此上尾部会受到取消的影响，并且当这可能很重要时会发出警告)。

非中心 qchisq 基于 pchisq 的反转。

参考

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate Distributions, chapters 18 (volume 1) and 29 (volume 2). Wiley, New York.

也可以看看

Distributions 适用于其他标准发行版。

具有 n 自由度的中心卡方分布与具有 shape \alpha = n/2 和 scale \sigma = 2 的伽玛分布相同。因此，请参阅 dgamma 了解 Gamma 分布。

d.f. 为 2 的中心卡方分布与比率为 1/2 的指数分布相同： \chi^2_2 = Exp(1/2) ，请参阅dexp 。