R GammaDist 伽玛分布

说明

具有参数 shape 和 scale 的伽马分布的密度、分布函数、分位数函数和随机生成。

用法

dgamma(x, shape, rate = 1, scale = 1/rate, log = FALSE)
pgamma(q, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE,
       log.p = FALSE)
qgamma(p, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE,
       log.p = FALSE)
rgamma(n, shape, rate = 1, scale = 1/rate)

参数

细节

如果省略 scale ，则采用默认值 1 。

参数为 shape =\alpha 和 scale =\sigma 的伽玛分布具有密度

为了x \ge 0,\alpha > 0和\sigma > 0。 (这里\Gamma(\alpha)是由以下函数实现的R的gamma()并在其帮助中定义。注意a = 0对应于所有质量都在 0 点的平凡分布。)

均值和方差为 E(X) = \alpha\sigma 和 Var(X) = \alpha\sigma^2 。

累积危险H(t) = - \log(1 - F(t)) 为

-pgamma(t, ..., lower = FALSE, log = TRUE)

请注意，对于较小的 shape 值(和中等的 scale )，伽马分布的大部分质量位于 x 的值上，这些值非常接近零，以至于它们在计算机算术中将表示为零。因此rgamma很可能返回表示为零的值。 (对于非常大的 scale 值也会发生这种情况，因为实际生成是针对 scale = 1 完成的。)

值

dgamma 给出密度，pgamma 给出分布函数，qgamma 给出分位数函数，rgamma 生成随机偏差。

无效参数将导致返回值 NaN ，并带有警告。

结果的长度由 rgamma 的 n 确定，并且是其他函数的数值参数长度的最大值。

除 n 之外的数字参数将被回收到结果的长度。仅使用逻辑参数的第一个元素。

注意

S(Becker 等人，1988)参数化是通过 shape 和 rate 进行的：S 没有 scale 参数。同时提供 scale 和 rate 是错误的。

pgamma与不完全伽玛函数密切相关。根据 Abramowitz 和 Stegun 6.5.1(以及“数值配方”)的定义，这是

P(a, x) 是 pgamma(x, a) 。其他作者(例如 Karl Pearson 在他的 1922 年表格中)省略了归一化因子，将不完全伽马函数 \gamma(a,x) 定义为 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1} e^{-t} dt, 即 pgamma(x, a) * gamma(a) 。还有一些使用‘upper’不完整的伽玛函数，

可以通过 pgamma(x, a, lower = FALSE) * gamma(a) 计算。

但请注意， pgamma(x, a, ..) 目前需要 a > 0 ，而不完整的伽马函数也为负 a 定义。在这种情况下，您可以使用包 gsl 中的 gamma_inc(a,x) (对于 \Gamma(a,x) )。

另请参阅 https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function 或 https://dlmf.nist.gov/8.2#i 。

例子

-log(dgamma(1:4, shape = 1))
p <- (1:9)/10
pgamma(qgamma(p, shape = 2), shape = 2)
1 - 1/exp(qgamma(p, shape = 1))

# even for shape = 0.001 about half the mass is on numbers
# that cannot be represented accurately (and most of those as zero)
pgamma(.Machine$double.xmin, 0.001)
pgamma(5e-324, 0.001)  # on most machines 5e-324 is the smallest
                       # representable non-zero number
table(rgamma(1e4, 0.001) == 0)/1e4

来源

dgamma 使用 Catherine Loader 贡献的代码通过泊松密度计算(请参阅 dbinom )。

pgamma 使用未发布(且未以其他方式记录)的算法“主要由 Morten Welinder 开发”。

qgamma 基于 C 翻译

贝斯特，D. J. 和 D. E. 罗伯茨 (1975)。算法AS91。卡方分布的百分点。应用统计学，24, 385-388。

加上最后的牛顿步骤来改进近似值。

rgamma 用于 shape >= 1 使用

Ahrens, J. H. 和 Dieter, U. (1982)。通过改进的拒绝技术生成伽玛变量。 ACM 通讯，25、47-54、

对于 0 < shape < 1 用途

阿伦斯，J. H. 和迪特，U. (1974)。从伽玛分布、贝塔分布、泊松分布和二项分布中采样的计算机方法。计算，12, 223-246。

参考

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988). The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Shea, B. L. (1988). Algorithm AS 239: Chi-squared and incomplete Gamma integral, Applied Statistics (JRSS C), 37, 466-473. doi:10.2307/2347328.

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1972) Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover. Chapter 6: Gamma and Related Functions.

NIST Digital Library of Mathematical Functions. https://dlmf.nist.gov/, section 8.2.

也可以看看

gamma 用于伽玛函数。

Distributions 用于其他标准分布，包括 dbeta 用于 Beta 分布和 dchisq 用于卡方分布(Gamma 分布的特殊情况)。