R Schur-methods Schur 分解方法

说明

计算 n \times n 实数矩阵 A 的 Schur 分解，其具有一般形式

其中 Q 是正交矩阵，T 是块上三角矩阵，其中 1 \times 1 和 2 \times 2 对角块指定 A 的实数和复数共轭特征值。 Q 的列向量是 A 的 Schur 向量，T 是 A 的 Schur 形式。

方法基于 LAPACK 例程 dgees 构建。

用法

Schur(x, vectors = TRUE, ...)

参数

x	要因式分解的 finite 方阵或 Matrix。
vectors	一个合乎逻辑的。如果TRUE(默认值)，则除了 Schur 形式之外还计算 Schur 向量。
...	传入或传出方法的更多参数。

值

表示分解的对象，如果 vectors = TRUE 则继承自虚拟类 SchurFactorization 。目前，在这种情况下，特定类始终是Schur。例外情况是 x 是传统矩阵，在这种情况下，结果是包含 Schur 对象的 Q 、 T 和 EValues 槽的命名列表。

如果 vectors = FALSE ，则结果是相同的命名列表，但没有 Q 。

例子

showMethods("Schur", inherited = FALSE)
set.seed(0)

Schur(Hilbert(9L)) # real eigenvalues

(A <- Matrix(round(rnorm(25L, sd = 100)), 5L, 5L))
(sch.A <- Schur(A)) # complex eigenvalues

## A ~ Q T Q' in floating point
str(e.sch.A <- expand2(sch.A), max.level = 2L)
stopifnot(all.equal(A, Reduce(`%*%`, e.sch.A)))

(e1 <- eigen(sch.A@T, only.values = TRUE)$values)
(e2 <- eigen(    A  , only.values = TRUE)$values)
(e3 <- sch.A@EValues)

stopifnot(exprs = {
    all.equal(e1, e2, tolerance = 1e-13)
    all.equal(e1, e3[order(Mod(e3), decreasing = TRUE)], tolerance = 1e-13) 
    identical(Schur(A, vectors = FALSE),
              list(T = sch.A@T, EValues = e3))    
    identical(Schur(as(A, "matrix")),
              list(Q = as(sch.A@Q, "matrix"),
                   T = as(sch.A@T, "matrix"), EValues = e3))
})

参考

The LAPACK source code, including documentation; see https://netlib.org/lapack/double/dgees.f.

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

类Schur 及其方法。

类dgeMatrix。

通用函数 expand1 和 expand2 ，用于根据结果构造矩阵因子。

通用函数 Cholesky 、 BunchKaufman 、 lu 和 qr 用于计算其他因式分解。